淺析高中函數的單調性

摘 要：本文的重點是淺析函數單調性及對教法的研究，通過仔細閱讀教材，筆者將教材知識以兩個部分的形式呈現：函數單調性的內容剖析；教法研究。

關鍵詞：函數的單調性；教材教法；教學體會

在高中數學函數教學中，函數單調性的學習對于促進學生綜合素質的提升具有重要意義，因此，充分認識到函數單調性的地位及作用，并進行函數單調性教學是教師課堂教學的關鍵。

一、函數單調性在中學數學知識體系中的地位及作用

函數的單調性不僅在“數”上表現出一定的數量關系，也在“形”上表現出獨特的數學美感。而函數的單調性分為單調遞增與單調遞減，主要反映的是函數圖象的變化趨勢。函數與中學數學很多內容都密切相關，八年級下學期我們初步探討了函數的概念、函數關系的表示法以及函數圖象的繪制等，并具體討論了正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等最簡單的函數；高中我們用集合的思想理解函數的一般定義，并在重新理解函數圖象的基礎上，學習了函數的單調性、奇偶性等，而后學習的指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等都是函數內容的主體。這些簡單的函數皆具備相應的基本性質，而函數的基本性質的深刻理解有助于函數圖象的高效繪制，便于一些函數問題的解決。

二、淺析函數的單調性

（一）函數的單調性：

一般地，設函數y=f（x）的定義域為A，區間.如果對于區間I內的任意兩個值x1，x2，當時，都有，那么就說在區間I上是單調增函數.如果對于區間I內的任意兩個值x1，x2，當時，都有，那么就說在區間I上是單調減函數。

概念體現了函數中的函數值與自變量x的一種運動關系，而學生大多習慣用靜止的眼光去觀察它，認為x1，x2既然是任意取的，那么就可以任意取兩個具體的值，顯然這種看法是對函數單調性定義的錯誤理解。函數的單調性可以根據“同向為增，異向為減”來記憶。

注意：

1.x1，x2是定義域內任意的兩個值，不是存在著的；

2.增函數滿足自變量的變化與相應函數值的變化有相同的變化趨勢，減函數滿足自變量的變化與相應函數值的變化有相反的變化趨勢，概括來說“同增異減”。

3.單調區間若有兩個或兩個以上，區間之間用“和”連接。

另一方面，從圖象看：從左到右即說明 逐漸變大，而圖象有上升趨勢即說明逐漸增大，圖象有下降趨勢即說明逐漸減小，從左向右看符合學生正常的閱讀習慣，而“增”對應的上升，“減”對應的下降也符合學生的直觀感受，所以結合圖象更便于學生理解函數的單調性。

例如：判斷以下說法是否正確：定義在R上的函數滿足，則函數是R上的增函數.

解析：不滿足定義的任意性，以偏概全，說法不正確；學生會覺得，且 ，與定義符合，易忽略其任意性。反例如左圖，可引導學生發揮想象力，在區間間作函數的圖象，易于得出正確結論。

綜合來看，函數的單調性可從兩方面進行講解：一方面從定義出發，用代數的方法判定；另一方面從圖象出發，直觀地理解定義。兩者相輔相成，從而達成知識點的建構。

（二）函數單調性的教法研究

函數單調性的重點應是對于定義的理解以及函數單調性的靈活應用，而難點主要集中在對于定義的理解。函數單調性定義中最難理解的便是“任意”兩字，教師應該把握好這節課中探究活動的著眼點，即探究認識概念的本質，讓學生感覺到使用“任意”二字的必要性，并能用自己的語言表述概念的本質，充分調動學生頭腦中的相關知識經驗，主動地去探索與思考，至于規范的符號語言表述則可以讓學生在證明函數單調性的過程中循序收獲。

數離開形缺直觀，形離開數難入微。以形助數，能夠使一些復雜的數量關系和抽象的概念簡單化、形象化、直觀化；而以數助形，通過對數量的分析和計算，能夠使問題得以嚴謹化、精確化地解決等等。僅從函數單調性的定義，對于高中生來說還是有些難度的，由圖象引入，加強學生的直觀感受，使得學生易于理解函數單調性的本質含義，而不是僅僅可以用定義來解決相關習題。學生在理解函數單調性的定義后，便可以反過來從圖象讀出函數的性質，也使得學生的直覺思維能力也能得到提升。

根據學生認知水平與教學經歷，對”函數單調性”的教學有如下的教學心得：

1.在教學中從學生的認知角度出發，注意培養學生數形結合的數學思想，結合生活實際，有效完成教學目標。

2.運用數形結合的數學思想引導學生去理解函數單調性的定義。數學的定義都比較抽象和嚴謹，教學中恰到好處的實例引入，數形的有機結合，重點實際的技巧分析，是學生學好函數單調性的關鍵。在教學中引導學生理解函數單調性的定義，以嚴謹地態度來證明與判斷函數的這些性質，在基礎夯實的基礎上培養學生的觀察力，靈活運用函數的單調性技巧性地解決一些函數問題，再次加深學生對于函數性質的認識。

3.利用函數單調性的證明，增強學生對數學嚴謹性的深刻認識，培養學生的抽象思維。

三、結束語

通過向學生講述關于函數單調性的教學內容，能夠促使學生掌握更多關于函數的知識，并為學生更好的學習數學知識奠定基礎，在未來的教學過程中，教師應當強化函數教學，不斷提升學生的學習水平。

參考文獻：

[1]蘇教版高中數學教材編寫組.普通高中課程標準實驗教科書數學必修1[M] .南京：江蘇教育出版社，2010.29-43.

[2] 張小磊.數形結合在初等數學中的應用[J]. 科學大眾·科學教育，2012，（2）：12.