高中數學探求軌跡方程的常用技法

摘 要：軌跡方程的求解在高考中占據重要地位，軌跡問題，是每年高考必備的內容，它注重考查學生的邏輯思維能力，運算能力，分析問題和解決問題的能力，求軌跡方程的常用技法有直接法、定義法、相關點法、參數法、變軌法等。

關鍵詞：直接法 定義法 相關點法 參數法 變軌法

中圖分類號：G412文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）05（c）-0256-01

作為高中數學的一個重要組成部分，軌跡方程的求解在高考中占據重要地位。軌跡問題，是每年高考必備的內容，特別是當今高考的改革以考查學生的創新意識為突破口，注重考查學生的邏輯思維能力，運算能力，分析問題和解決問題的能力，而軌跡方程這一熱點，則能很好地反映學生在這些方面能力的掌握程度。可見，對軌跡問題的研究是非常重要的。該+文通過典型例子闡述探求軌跡方程的常用技法。

1 直接法

如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關系或這些幾何條件簡單明了且易于表達，我們只需把這種關系“翻譯”成x，y的等式，就得到曲線的軌跡方程。由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟，也不需要特殊的技巧，所以稱之為直接法。

例1已知點M（-2，0）、N（2，0），點P滿足=12，求P點的軌跡方程。

解：設P（x，y），則=（-2-x，-y），=（2-x，y），

所以=（-2-x）（2-x）+（-y）（-y）=-4+=12，整理得+=16為所求P點的軌跡方程。

注 求曲線軌跡方程的基本步驟：

建立適當的平面直角坐標系，設軌跡上任一點的坐標為M（x，y）；（2）尋找動點與已知點滿足的關系式；（3）將動點與已知點的坐標代入；（4）化簡整理方程；（5）證明所得方程為所求曲線的軌跡方程。通常求軌跡方程時，可以將步驟（2）和（5）省略。

2 定義法

其動點的軌跡符合某一基本軌跡的定義，則可根據定義直接求出動點的軌跡方程。

例2已知△ ABC的周長為18，且B（-4，0）、C（4，0），求點A的軌跡方程。

解：由題知，|BC|=8，

所以 |AC|+|AB|=10>（|BC|），

所以點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓（除去與x軸的交點）。

因為2=10，2c=8

所以=5，c=4，

由=-得b===3，

所以點A的軌跡方程為+=1（y≠0）。

3 相關點法（代換法、轉化法）

有些問題中，其動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點（稱之為相關點）而運動的，如果相關點所滿足的條件是明顯的或是可分析的，這時我們就可以用動點坐標表示相關點坐標，根據相關點坐標所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做相關點法或坐標代換法。

例3已知P在以、為焦點的雙曲線-=1上運動，求△的重心G的軌跡方程。

4 參數法

有時求動點應滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關點，但卻較易發現（或經分析可發現）這個動點的運動常常受到另一個變量（角度、斜率、比值、截距或時間等）的制約，或動點坐標（x，y）中的x ，y分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱這個變量為參數，建立軌跡的參數方程，這種方法叫做參數法。如果需要得到軌跡的參數方程，選用的參數變量應具有某種物理或幾何的性質，如時間、速度、角度、直線的斜率、點的橫、縱坐標等，也可以沒有具體的意義，選定參數還要特別注意它的取值范圍對動點的坐標取值范圍的影響。

5 變軌法

在求動點軌跡時，有時會出現要求兩條動曲線交點的軌跡問題，這類問題常常通過方程組得出交點（含參數）的坐標，再消去參數求出所求軌跡的方程，該法經常與參數法并用。

例5如右圖，垂直于軸的直線交雙曲線-=1于、兩點，為雙曲線的左、右頂點，求直線與的交點的軌跡方程，并指出軌跡的形狀。

解：設及-），又（-，0），可得

直線的方程為①；

直線的方程為②.

①×②得③.

又，代入③得，

化簡得，此即點的軌跡方程.

當時，點的軌跡是以原點為圓心、為半徑的圓；當時，點的軌跡是橢圓。

注意：求曲線的方程與求軌跡是有不同要求的，若是求軌跡則不僅要求出方程，而且還需說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，在何處，即圖形的形狀、位置、大小都需要說明討論清楚。求軌跡是首先要求出軌跡方程，然后再說明方程的軌跡圖形，最后補漏和去掉增多的點，若軌跡由不同的情況，應分別討論，以保證它的完整性。

參考文獻

[1]郝安軍.求軌跡方程的幾種方法[J].高中數學教與學，2013（10）.

[2]梁達.探究圓錐曲線的切線的交點軌跡問題[J].數學通訊，2014（2）.