二面角平面角的幾種求法

介紹了二面角，二面角的平面角的定義和二者的關(guān)系，三垂線定理及其逆定理，并重點(diǎn)給出了求二面角平面角的六種方法。

立體幾何二面角平面角求法空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，在面面關(guān)系中，二面角是其中的主要概念之一，它的計(jì)算歸結(jié)為平面角的計(jì)算.一般來說，對(duì)其平面角的定位是問題解決的先決一步，由于二面角的平面角是由一點(diǎn)和兩條射線構(gòu)成，所以二面角的平面角的定位可化歸為“定點(diǎn)”“定線”或“定面”的問題，在做題時(shí)只需分別找“點(diǎn)”“垂線”或“垂面”.事實(shí)上，只要找到其中一個(gè)，另外兩個(gè)就會(huì)接踵而來，掌握這一點(diǎn)對(duì)提高解題技能和培養(yǎng)空間想象力非常重要。

一、預(yù)備知識(shí)

平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形，叫做二面角。（這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面）。

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角。

二面角的大小就是用它的平面角來度量，二面角的平面角的數(shù)值大小就等于二面角的大小。

定理1（三垂線定理）：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

定理2（三垂線定理的逆定理）：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條直線在平面內(nèi)的射影垂直。

二、二面角平面角的大小的求法

1.定義法

在二面角的棱上找一特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的垂線，如圖1所示。用定義法求二面角的平面角時(shí)，首先需要根據(jù)二面角的定義把它轉(zhuǎn)化為平面角，然后把這個(gè)平面角置于一個(gè)三角形中，通過解三角形求二面角，其基本的解題步驟為“一作，二證，三求”。

2.垂射線法即垂面法過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面的交線組成的角即為二面角的平面角，如圖2所示，∠AOB為二面角的平面角。

二面角一般都是在兩個(gè)半平面的相交線上，取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)(通常是端點(diǎn)或中點(diǎn)），過這個(gè)點(diǎn)分別在兩平面做相交線的垂線，然后把兩條垂線放到一個(gè)三角形中考慮。有時(shí)也經(jīng)常做兩垂線的平行線，使它們?cè)谝粋€(gè)更理想的三角形中。

3.小結(jié)

（1）用垂射線法求二面角即在棱上取一點(diǎn)，然后分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)作（找）棱的垂線；

（2）若等腰三角形的底邊在棱上，則取底邊中點(diǎn)，因底邊上的中線垂直于底邊，從而獲得與棱垂直的直線；

（3）其基本的解題步驟為一作（或找），二證，三求，四答。

4.射影面積公式法

設(shè)θ是兩個(gè)平面所組成的二面角的平面角，S射影是二面角的一個(gè)平面所在的平面圖形在另一平面內(nèi)的射影圖形的面積，S斜是這個(gè)平面圖形的面積，則cosθ=S射影S斜，如圖3所示，S斜=SΔPAB，S射影=SΔAOB，PO⊥平面，O為垂足。

射影面積公式法適用于斜面和射影面的面積易求的立體幾何題中，可省去作、證二面角的平面角的過程。

5.三垂線定理及其逆定理法由一個(gè)半平面內(nèi)異于棱上的一點(diǎn)A向另一個(gè)半平面作垂線，垂足為B。再由B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則∠AOB即為二面角的平面角，如圖4所示。小結(jié)：利用三垂線定理求二面角的平面角的大小是利用傳統(tǒng)的純幾何綜合推理方法解決，但有些題目是比較難以找出所求的二面角的平面角的。

6.向量法

利用平面的法向量可求二面角。如圖5所示，θ表示欲求的二面角－l－β的平面角，又設(shè)n1，n2分別是平面，β的法向量，這兩個(gè)法向量的方向應(yīng)該是這樣配備的：當(dāng)或β半平面繞著棱l轉(zhuǎn)動(dòng)到與另一半平面重合時(shí)，這兩個(gè)向量的方向應(yīng)當(dāng)一致。在滿足這些條件之下，有cosθ=n1#8226;n2n1n2，這里需要注意的是如果兩個(gè)法向量都是垂直平面，指向平面內(nèi)，所求兩平面的夾角就是π－θ。若在幾何體中容易建立空間直角坐標(biāo)系，可考慮運(yùn)用向量法坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算二面角的平面角，本題方法二是求出二面角平面角的兩邊的方向向量，然后用向量夾角公式求解，方法一是先求二面角的兩個(gè)面的法向量，兩個(gè)法向量的夾角與二面角的平面角的大小相等或互補(bǔ)，因此要結(jié)合具體圖形及法向量的方向而定。

7.公式法

如圖6所示，在空間四邊形ABCD 中，∠BAC=90°，∠BAD=90°，記∠ABC=θ1， ∠DBC=θ2，∠ABD=θ3，二面角C－AB－D的平面角為∠CAD，記作θ，則cosθ=cosθ2－cosθ1#8226;cosθ3sinθ1sinθ3。（上接第37頁）小結(jié)：在求二面角的平面角的大小，遇到多角度或角度易求的題時(shí)，此方法比較簡(jiǎn)單，可避免找、證二面角的平面角及判斷二面角的大小問題。

三、結(jié)束語

空間的二面角是平面幾何中角的概念在空間中的拓廣，其計(jì)算與度量體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想：空間角轉(zhuǎn)化為平面角或轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角。歸納總結(jié)并通過一些例子列舉了二面角平面角的大小的六種方法，但它的求法也絕不限于此，其他更簡(jiǎn)捷的方法有待進(jìn)一步深入研究。

參考文獻(xiàn)：

\\[1\\]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下B）\\[M\\].北京：人民教育出版社，2006.

\\[2\\]李書恒，李建章.高考調(diào)研叢書\\[M\\].石家莊：河北教育出版社，2007.

\\[3\\]周良樹，楊素.高中數(shù)學(xué)學(xué)考必備用書\\[M\\].長沙：湖南大學(xué)出版社，2007.

\\[4\\]張昌金.有關(guān)二面角問題的解題策略\\[J\\].高中數(shù)理化，2002，（04）：21-25.

\\[5\\]朱金水.二面角的平面角的求法\\[J\\].數(shù)理化解題研究（高中版)，2003，(04)：14-16.