淺談定義在數學教學中的重要性

【摘 要】定義在數學教學中往往被忽視;定義是符號，其所代替的是事物的全部;在進行定義的教學時由淺入深，層層深入;定義體現了數學學習的嚴謹性;對定義的全面理解有助于解題的深入。

【關鍵詞】題海 " "定義 " "準確全面的理解 " "思維嚴謹性 " " 解題完整

數學學習留給大多數人的印象是反復解題目、做試卷，很少見到有要求背定義，即使是背，也最多是背背公式。其實，對數學名詞定義的準確、全面的理解在數學學習中有著至關重要的作用，是培養學生思考問題嚴謹性的一個平臺，是學生解題完整的依據。

一、定義在數學教學中往往被忽視

在數學新課的教學中，一節課通常是這樣安排的：新課引入、學生活動、新課講解、例題教學、學生練習、歸納小結、學生作業，最后是課后反思。定義一般是在學生活動后，師生共同歸納總結，給出定義。多數情況下定義還可寫成一個數學式，定義中的一些特定條件，也是要經過反復揣摩，最后把定義完善。在學生解決問題的過程中，表示定義的那個數學式顯得較為突出，而其他需要滿足的條件常會被忽視，有時這對解題結果不會產生影響，學生不去重視它也就很自然了。例如，解析幾何中圓錐曲線的定義，橢圓定義中除了“到兩定點距離之和為定值”，這些都是定義的一部分，但很多學生忽視了它們，導致解題困難和錯誤。

二、定義是符號，其所代替的是事物的全部

一個完整的定義應該包括被定義對象的全部，只有全面理解了定義的內容，才能挖掘出定義中的內涵，達到解題完整的效果。例如，函數的定義域是函數定義中的一部分，用解析法表示函數時，不僅要寫出函數的解析式，還應該寫出x 的取值范圍，否則就是默認為這個式子有意義的所有x的值。在解決實際問題時x一般都有其實際意義，這就要求列函數關系式時要考慮到這一點。往往在應用題中列函數關系式看似簡單，但函數的定義域在此處有時可能是個難點。

三、定義的教學

數學概念往往抽象而且瑣碎，如果不是在理解的基礎上是很難記住的。要想完整地背下來真不容易。因此我在定義的教學時，先用淺顯易懂的語言給學生一個認識，然后由淺入深，層層深入到概念的核心。師生共同歸納定義時，教師要把學生沒有想到的細節或是一些特殊情況提出來供學生思考，完善定義，加深學生印象，讓學生認識到下定義時要完整、嚴謹。具體地說，就是先指出主語，再強調定語。在一些簡單的課堂練習中，不一定能把定義中的細節都體現出來，因此要讓學生下課后背定義，這將有助于學生在進一步的學習中更好地理解定義，從而解決更為復雜的問題。例如，函數定義的學習一直是一個難點，學生在初中就沒有把函數的概念搞清楚，進入高一，夾生飯很難炒，再加上函數的定義是長長的一段話，既不優美也不朗朗上口。在回顧了一次函數、反比例函數、二次函數后，第一步不妨直接提出“函數即關系，是兩個變量之間的一種對應關系”這一結論留給學生，學生會感覺簡單而且容易接受。第二步可以通過“平方”“開平方”“立方”等一些簡單的學生熟悉的變量間的對應關系，讓學生感受變量間的關系有多種，此時強調函數中的兩個變量的關系是其中一種，引出函數定義中的定語“每一個x，都有唯一確定的y與其對應”的這種關系。第三步順理成章地可以得出函數的三個組成部分：f，x，y，即對應關系和兩個變量，并且有：y=f（x）;由個體到整體，得到函數的三要素f，A，B，且有 f： A→B。通過以上三個步驟，函數的定義及三要素已經很好地呈現在學生面前了。課后再布置學生回家背誦函數的定義，有助于學生對函數定義的清晰記憶和書寫的準確規范。

四、定義體現了數學學習的嚴謹性

定義是一個全局性的東西，要對所有的同類事物都成立。因此學生對定義的熟悉和理解有助于他們思維的嚴謹性和解題的完整性。例如函數單調性的學習，單調函數的定義中的第一句話：“設x1、x2是定義域I上的某個區間D上的任意兩個數”，一般會被學生忽略不計。學生對單調函數的理解也不難，借助函數圖像可以很好地做出判斷，所以在學生的腦海中，印象深刻的多數是“x1lt;x2時，有f（x1）lt;f（x2）（ f（x1）gt;f（x2） ）”。但是，用定義法證明或判斷函數的單調性時，定義中的“在區間D上”與“任意的”就能反映學生對這一定義的真正理解程度了。有些學生會舉若干特殊值的大小關系來得出結論，這顯然是不對的。

五、對定義的全面理解有助于解題的深入

對學生來說，清晰透徹地掌握好定義是不容易的。一般要經過初識定義、應用定義、反思定義、再用定義、掌握定義這樣一個層層遞進的過程。在這個過程中，從“初識定義”到“應用定義”之后，如果能把定義背一背，加強對定義的熟悉程度，對后面的“反思定義”會起到一個整理思路的作用。掌握了完整的定義后，無論題目怎樣變，都能從中提煉出其所指向的知識點，對一些綜合題或是提高題就能從容應對。例如，復合函數求定義域的問題：已知函數f[lg（x+1）]的定義域是[0，9]，求函數f（）的定義域。這題從條件到所求都是圍繞著定義域，要求學生要清楚定義域的概念，要清楚定義域是相對于“對應關系”的一個概念，至此這個問題就迎刃而解了。求解此類新定義的存在性問題的前提是讀懂新定義的含義，得出函數f（x）是定義域為S、值域為T的增函數，然后根據選項中的集合構造函數即可。

總之，對定義深入、精確的理解是幫助學生在數學學習中脫離“題海戰術”的有效的一種方法;是讓學生在數學學習過程中學會全面觀察問題、分析問題的一個案例;是培養學生思維的嚴謹性的一個平臺。