對(duì)案例引入定積分教學(xué)的探索與實(shí)踐

摘 要：將案例融入定積分教學(xué)是一種有意義的教學(xué)方式的嘗試。通過在課堂教學(xué)中穿插聯(lián)系生活實(shí)際的案例，培養(yǎng)學(xué)生獲得將抽象的數(shù)學(xué)概念和實(shí)際問題建立聯(lián)系的能力，同時(shí)也使學(xué)生獲得最有效地找到解決問題切入點(diǎn)的思路，以及能夠應(yīng)用知識(shí)正確而簡(jiǎn)潔地解決問題，進(jìn)而提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)鍵詞：案例 定積分 應(yīng)用能力

中圖分類號(hào)：O245 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）05（b）-0127-02

Exploration and Practice on the Case of introduction of Definite Integral Teaching

Abstract：The case integrated into definite integral teaching is an important teaching method attempt. Teaching in the classroom by inserting contact life actual cases， help the students get the abstract mathematical concepts and practical issues to establish contact capacity， but also enable students to obtain the most effective to find solutions to problems starting point of thinking， and the ability to apply knowledge of the correct and simple solution to the problem， so as to improve the students ability to solve practical problems.

Key words：case definite integral application ability

高等數(shù)學(xué)是非數(shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)生的一門重要的必修基礎(chǔ)課程，定積分是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要章節(jié)。定積分不僅在理工學(xué)科領(lǐng)域中占有重要地位，而且已逐漸滲透到經(jīng)濟(jì)、金融以及人文社科等各個(gè)領(lǐng)域，正日益成為各學(xué)科進(jìn)行科學(xué)研究的重要手段和工具。定積分概念的產(chǎn)生來源于計(jì)算平面上曲邊梯形的面積和物理學(xué)中諸如求變力所作的功等物理量的問題，解決這些問題的基本思想是用有限代替無限。積分學(xué)極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展，并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。

1 案例引入定積分教學(xué)的意義

定積分具有較強(qiáng)的實(shí)用性，對(duì)培養(yǎng)應(yīng)用型人才[1]有重要的作用。傳統(tǒng)的教學(xué)法比較重概念、重計(jì)算、輕應(yīng)用，造成學(xué)生學(xué)習(xí)定積分的困難。學(xué)生談到定積分時(shí)，只能想到抽象的理論、繁瑣的計(jì)算，卻感覺不到定積分理論體系存在的實(shí)際意義，更不知道如何應(yīng)用這一理論，也就激發(fā)不了學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的興趣。因而在定積分教學(xué)過程中可以有意識(shí)地結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的知識(shí)水平，制造實(shí)際問題的背景，把學(xué)生引導(dǎo)到情境中來，讓學(xué)生在情境中理解概念、公式、定理，從而增加學(xué)習(xí)的趣味性和學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。采用案例式教學(xué)[2]，將案例融入定積分課堂教學(xué)中，通過實(shí)例使得學(xué)生對(duì)定積分的知識(shí)有更直接、更形象的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生感覺到學(xué)有所用的同時(shí)，強(qiáng)化了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用能力，增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和理解。

2 案例引入定積分教學(xué)的探索

美國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)改革開始于80年代，注重培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索問題及創(chuàng)造新方法的能力。在教材中廣泛應(yīng)用圖形、數(shù)學(xué)軟件和其他計(jì)算機(jī)技術(shù)，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行探索性學(xué)習(xí)，提高學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的參與程度，有利于發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性。而我國(guó)現(xiàn)有的教材大都比較重視理論，無論是在內(nèi)容還是在習(xí)題上，都沒有涉及到定積分知識(shí)在經(jīng)濟(jì)、管理或者在其他方面的應(yīng)用。因此，許多大學(xué)生都產(chǎn)生了疑問：學(xué)習(xí)定積分的知識(shí)能做什么，怎么用？為了有效的解決這個(gè)問題，我們?cè)诮虒W(xué)過程中，引入實(shí)際案例，為此我們主要在以下三個(gè)方面作了一些探索。

2.1 通過實(shí)例引入基本概念

在引入概念、定理、公式時(shí)，通過闡明概念、定理、公式的提出過程和背景，由案例出發(fā)，引入新的概念、定理、公式。這樣教師能很好的利用學(xué)生已知的或較容易理解的知識(shí)進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生也能容易地通過已學(xué)的和較容易理解的知識(shí)去理解和掌握新的知識(shí)和規(guī)律。同時(shí)，好的案例也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使枯燥乏味的理論課教學(xué)變得生動(dòng)活潑。

案例1 位于河邊的一家小造紙廠，向河中排放含四氯化碳的污水。當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門發(fā)現(xiàn)后，責(zé)令該廠立即安裝過濾裝置，以減慢并最終停止四氯化碳排入河中。當(dāng)過濾裝置安裝完畢，并開始工作到污液停止，四氯化碳的排放速度（單位：立方米/年）可以由模型

逼近，其中是從過濾裝置開始工作時(shí)計(jì)算的時(shí)間。問從過濾裝置開始工作到污液完全停止需要用多長(zhǎng)時(shí)間？在這段時(shí)間里有多少四氯化碳流入河中。

解 過濾裝置開始工作到污液完全停止，這段時(shí)間里四氯化碳流入河中的量用表示。

令，即年，于是有

。

即從過濾裝置開始工作到污液完全停止需要4年時(shí)間，在這段時(shí)間里有16四氯化碳流入河中。

這兩個(gè)例子可作為微積分基本公式的應(yīng)用例子，既讓學(xué)生了解概念，又增加了學(xué)習(xí)的興趣。

2.2 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用定積分知識(shí)的能力

將定積分知識(shí)與所學(xué)專業(yè)相結(jié)合，通過案例，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。應(yīng)用問題的選取應(yīng)盡可能將數(shù)學(xué)實(shí)踐內(nèi)容與定積分教學(xué)內(nèi)容有機(jī)的結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生從單純的學(xué)習(xí)理論知識(shí)過渡到解決實(shí)際問題。通過引用案例，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和用定積分思想和方法解決實(shí)際問題的意識(shí)，進(jìn)而全面提高教育質(zhì)量。

案例2 這場(chǎng)大雪是從何時(shí)開始下的？

某小鎮(zhèn)凌晨5：00點(diǎn)發(fā)現(xiàn)正在下大雪，于是出動(dòng)鏟雪車鏟雪，1 h后（到6：00）鏟清了1000 m路面，又經(jīng)過1 h（到7：00）又鏟清了500 m長(zhǎng)的路面。從而鏟清了到達(dá)高速公路入口處的全部路面。設(shè)雪在一直不停地均勻下著，鏟過雪的地方撒上了鹽，不會(huì)再有積雪。試問這場(chǎng)雪是什么時(shí)候下的。

分析該文題中積雪的厚度是個(gè)變量，所以鏟雪車不可能是勻速前進(jìn)的（當(dāng)然要假定路面的寬度是一樣的）。注意到積雪厚度跟下雪時(shí)間成正比，就可以解決本問題。

解 以剛開始時(shí)刻為時(shí)間坐標(biāo)的原點(diǎn)，由于下雪的速度是均勻的，所以在t小時(shí)積雪厚度為m。又設(shè)路面的寬度為bm，鏟雪車的工作效率為

設(shè)在時(shí)間段所鏟積雪的體積為，則鏟雪車推進(jìn)的距離為

。

則可得如下兩個(gè)關(guān)系試

。

由此可得

即。

解得小時(shí)，從而可知這場(chǎng)大雪大約是從4點(diǎn)22分55秒開始下的。

本例可作為定積分的元素法[3]的一個(gè)實(shí)例講解，將抽象的理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系起來，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

2.3 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用定積分知識(shí)解決問題的能力

當(dāng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)問題時(shí)，還要指導(dǎo)他們正確地解決問題，獲得所需要的解。在具體解決問題時(shí)，要盡可能的將知識(shí)點(diǎn)穿插起來，使學(xué)生能更好的理解和掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生在求解的過程中體驗(yàn)到解決問題的快樂。利用極坐標(biāo)計(jì)算面積是定積分學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生對(duì)極坐標(biāo)系下的圖形比較陌生，對(duì)利用極坐標(biāo)的計(jì)算更是不知所以然，可以通過適當(dāng)?shù)陌咐瑢⒊橄蟮睦碚摼唧w化，讓學(xué)生利用極坐標(biāo)的計(jì)算有更直接、更形象的認(rèn)識(shí)。

案例3八月中秋吃月餅，一個(gè)月餅四等分。

一個(gè)月餅是由雙紐線

圍成，如圖1，請(qǐng)用刀子將此月餅分成四等分。

解 由于月餅的邊界曲線是由極坐標(biāo)形式給出的，所以我們嘗試從原點(diǎn)出發(fā)的射線來達(dá)到四等分的目的。

由對(duì)稱性可知，直線已經(jīng)實(shí)現(xiàn)月餅二等分的目的。接下來需要找到射線

將位于部分的月餅二等分。

根據(jù)極坐標(biāo)系下的面積公式，可以通過解方程

，

即

得到射線的方程（一刀切下去的角度）為

。

對(duì)稱的一刀，即射線，又將剩下的月餅再分成相等的兩部分。

通過該案例，不僅使學(xué)生對(duì)極坐標(biāo)系下面積公式的學(xué)習(xí)有了直觀的認(rèn)識(shí)，也將有助于學(xué)生探索和解決問題能力的提高。

3 結(jié)語(yǔ)

將案例融入定積分課堂教學(xué)的做法，是以解決實(shí)際問題的方法實(shí)踐定積分的概念、理論以及計(jì)算方法。通過在教學(xué)過程中增加案例，讓學(xué)生了解這門抽象的理論是如何應(yīng)用于實(shí)際的，進(jìn)而對(duì)這門課程的理論有了新的認(rèn)識(shí)，提高了學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、應(yīng)用能力，同時(shí)使教學(xué)變得輕松并有良好的教學(xué)效果。而通過培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，對(duì)于學(xué)生將來參加工作，自覺地用定積分中的方法解決實(shí)際問題也有一定的指導(dǎo)意義。

參考文獻(xiàn)

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[2]蘇洪雨，江雪萍.高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)的實(shí)踐與探究[J].高等理科教育，2009（3）：30-33.

[3]張新建，朱健民.關(guān)于“高等數(shù)學(xué)”教材對(duì)定積分元素法處理的幾點(diǎn)注記[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2008，24（2）：163-166.