欠定盲信號抽取算法研究

摘 要：欠定盲信號分離技術是信號處理領域發展相對較晚的一種理論，目前已迅速成為該領域內重要的組成部分。本文首先對欠定盲信號的基本研究方法和分離問題的數學模型作了介紹，詳細介紹了欠定盲信號的抽取算法，并指出其主要特點和性能。

關鍵詞：欠定盲源分離；快速獨立量分析；稀疏表示

1 引言

近年來，盲源分離已成為信號處理學界和神經網絡學界共同感興趣的研究話題，并獲得了迅速發展。典型情況下，觀測源信號是一組傳感器的輸出，而每個傳感器接收到的是不同源信號的組合。其中“盲”有兩種含義，一是源信號不能被觀測，沒有源信號的先驗知識，二是源信號的混合方式未知[1][2]。而欠定盲源分離是一個更符合實際，更具有挑戰性的研究，欠定盲源分離要求觀測信號的個數少于源信號的個數，因此，欠定盲源分離得到了更廣泛的應用。本文就欠定盲源分離的抽取算法進行了研究分析，并指出其特點。

2 欠定盲源分離算法的理論基礎

盲源分離的任務就是在源信號s和混合過程未知的情況下，只根據觀測信號確定分離過程的參數，從而使分離后的信號成為源信號的估計。混合過程中，輸入信號的混合模型不同，那么對于輸出信號也要采用不同的盲源分離模型，可以用以下矩陣方程描述：

上式中，T為樣本點個數，A為n×m維混合矩陣，X（t）為n維觀測數據矢量，V（t）為信道噪聲。

盲源分離就是要找到一個逆系統，如果這個系統存在的話，就可以估計源信號S（t），觀測信號X就是多個信源S經混合矩陣A組合而成的，在S與A都未知的條件下，可以求取一個混合分離矩陣W，那么X通過W所輸出的就是源信號的估計。

由于欠定盲源信號的觀測信號個數少于源信號的個數，即M

3 常用的盲源分離算法

3.1 快速獨立量分析

獨立量分析簡稱ICA[2]，最初是在研究盲源分離過程中出現的一種新的多通道信號處理與數據分析的方法。

圖1中X（t）由n個傳感器獲得n路觀測信號，每個觀測信號是m個獨立源信號si（t）（i=1，2...，m）的線性混合[3]，設噪聲為零，則有：

為n路觀測信號， 為m個未知源信號矢量，A= 為未知的n×m維混疊矩陣。

ICA的算法目的是要從多路觀測目的信號X中分離出隱含其中的源信號S，即尋找分離矩陣W。目前已經有很多成熟的ICA算法，下面介紹簡單實用的快速獨立分量分析（Fast ICA）算法[4]。

Fast ICA算法的計算過程運用了批處理的方法，但在計算思路的導出中運用了自適應處理方法，可以說是批處理和自適應算法相結合的方法，因此處理速度快[5]。其計算過程如下，首先將觀測信號x（t）進行預白化處理，得到一個具有單位方差的新向量Z（t），則Z（t）=PX（t），且使得Z（t）中的各分量zi（t）互不相關[6]，其中P為白化陣。Fast ICA利用基于峭度的目標函數：

分離矩陣的訓練公式為：

其中k是迭代次數，分離矩陣為C=DP。

3.2 混合矩陣估計算法

對于混合矩陣，當源信號在時域具有稀疏性的特征，通常可以采用聚類法來估計混合矩陣；而當源信號在時域中不具有稀疏性時，則可以變換到變換域，使變換后的信號具有稀疏性[4]。

估計混合矩陣A一般都是在變換域中進行的，在變換域中假設有三個稀疏矩陣s1、s2、s3，將三個矩陣按下面組合成兩組觀測值：

當稀疏信號混疊后，部分采樣點是由多路信號混疊而成，而這些采樣點的指向必然由混合矩陣中的多列矢量疊加而成，此時采用聚類分析方法估計混合矩陣必然會帶來一定的誤差。所以如果在選取樣本時，拋棄這些包含多路源信號的采樣點，就可以提高混合矩陣估計的準確性，即單源檢測（Single Source Detection，SSD）算法，時域的單源檢測相對較復雜，而時頻域方法判斷更簡單，估計效果也更好。

在不考慮噪聲的情況下，將式（2）做短時傅里葉變換（Short Time Fourier Transform，STFT），對任意時頻點（f，t）有：

下面分兩種情況討論，第一種情況，時頻點包含的源信號數超過一路，假設包含s1、s2兩路源信號，則上式可以轉換變成：

容易得知，對于絕大部分時頻點而言，s1（f，t）與s2（f，t）為復數且不存在線性關系，則檢測信號的兩個時頻點的比必然為復數，得：

第二種情況，時頻點包含的源信號數僅為一路，即單源情況，設包含s1路源信號，則短時傅里葉變換為：

同時有： 此時，兩個的比值為實數。

由以上推導可以看出，可以通過檢測信號在同一時頻點的比值來尋找單源時頻點。當然，現實情況下，特別是帶噪條件下，比值完全為實數的點很難找到，所以只要滿足虛部相對實部可以忽略的條件就可以認為是單源點。

這樣樣本點的指向性會更加明顯，所以采用聚類分析方法估計混合矩陣時，計算量更小，估計精度更高。

4 結束語

欠定盲信號抽技術對信號處理技術的發展起了重要的作用，還有許多技術和問題有待解決。而欠定盲信號抽取算法還有很大的研究空間。文章通過對欠定盲信號處理過程的分析，介紹了欠定盲信號抽取算法中混合矩陣的估計方法，為最終的信號估計奠定了基礎。

[參考文獻]

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[2]張賢達，朱孝龍，保錚.基于分階段學習的盲信號分離[J].中國科學（E輯）.2002，32（5）：693～703.

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[4]Hyvarinen A，Lja E.A Fast fixed-point algorithm for independent component analysis[J].Neural Computation.1997，9（7）：1483-1492

[5]梁淑芬，江太輝.一種自適應算法的語音信號盲分離[J].信號處理.2010，26（7）：1094-1098.