高中數(shù)學課堂教學中的“一三一”

摘 要： 本文以一道等比數(shù)列基本量的計算題為例，談?wù)劯咧袛?shù)學課堂中的“一例三變一總結(jié)”教學，目的在于培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，并結(jié)合例題探討了在變式教學中應(yīng)遵循的原則.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學教學 變式教學 教學應(yīng)用 數(shù)學思想 數(shù)學方法

數(shù)學學習內(nèi)容的豐富，方法的精妙，思想的深邃注定了高中數(shù)學教學不可能是簡單的線性結(jié)構(gòu).而在數(shù)學課堂上，如果不能根據(jù)不同情況采取變條件、變結(jié)論、變形式、變圖式等方法教學，就不能使學生對所學的知識進行分析、綜合、歸納、整理，學生也就不能系統(tǒng)、深刻地理解所學知識，而“一例三變一總結(jié)”正是要求學生通過對例題的理解，由模仿到自己獨立思考，從不同角度循序漸進地理解相關(guān)知識的精髓，領(lǐng)會數(shù)學思想的滲透和數(shù)學方法的靈活應(yīng)用.

在數(shù)學教學中，我們經(jīng)常要求學生進行變式訓練，然而我們改變舊題的過程十分粗糙、簡單，大都是變換數(shù)據(jù)，變換說法，很少對條件、結(jié)論進行深加工，因此往往導(dǎo)學案上改編后的題目與課本、習題冊的題目沒有本質(zhì)區(qū)別，更談不上創(chuàng)新及數(shù)學思想的滲透.那如何才能進行高質(zhì)量的變式教學呢？這就要求教師課前認真?zhèn)浣滩?，靈活處理相關(guān)例題和習題，并注重數(shù)學方法的領(lǐng)悟和數(shù)學思想的滲透，這對學生數(shù)學思維的培養(yǎng)及數(shù)學能力的提高有很大的促進作用.筆者結(jié)合在數(shù)學教學中遇到的一道題，談?wù)勅绾芜M行“一例三變一總結(jié)”教學，從而培養(yǎng)學生思維的開放性和創(chuàng)新能力.

例題：已知數(shù)列{a }為等比數(shù)列，a +a =18，a +a =36，求數(shù)列{a }的通項.

分析：本題是關(guān)于等比數(shù)列基本量的計算，將所有量轉(zhuǎn)化為首項a 和公比q，即可求出通項公式，這是最基本的數(shù)學方法.

解：設(shè)等比數(shù)列{a }的首項為a ，公比為q，則由題意知

a q+a q =18a q +a q =36 兩式相除，得q=2，從而a = ，

所以a =a q = ·2 ，n∈N .

小結(jié)：在平常的數(shù)學教學中展現(xiàn)最基本的數(shù)學方法，在具體的例題中給學生以數(shù)學方法的展示，在數(shù)學解題之中感悟領(lǐng)會數(shù)學方法，是我們不斷追求的目標.

變式1：已知數(shù)列a 為等比數(shù)列，a +a =18，a +a =36，則a +a =？搖 ？搖.

分析：例題講解之后，很多學生看到該題會首先求解通項公式，進而得到a 和a 的值，計算量偏大，并且容易算錯.那對于這道填空題，有沒有簡便方法呢？經(jīng)過提示，有的學生會通過觀察項數(shù)特點，利用整體替換的思想求解，過程如下.

解：設(shè)等比數(shù)列{a }的公比為q，則q= =2，a +a =q （a +a ）=288.

變式2：已知數(shù)列{a }為等比數(shù)列，a +a =18，2（a +a ）=5a ，則a =？搖 ？搖.

分析：本題若將各項轉(zhuǎn)化為首項a 和公比q，則對部分學生來說計算量偏大，而且容易出錯；若利用特殊值法，滲透從一般到特殊的數(shù)學思想，則方便快捷，同時也能培養(yǎng)學生應(yīng)用知識的靈活性.

解：令n=2，則a = （a +a ）= .

變式3：已知數(shù)列{a }為等比數(shù)列，a +a =18，a a =36，則公比q=？搖 ？搖.

分析：本題利用了等比數(shù)列的性質(zhì)：m+n=p+q時，a +a =a +a ，m，n，p，q∈N ，并滲透了分類討論的思想.

解：由a ·a =a =36a +a =18知a =12a =6或a =12a =-6

又因為q = >0，所以a =12，a =6.

因此q = = ，q=± .

小結(jié)：變式1在例題的基礎(chǔ)上變換問法，而變式2和變式3在例題的基礎(chǔ)上變換條件和問題，它們從不同角度分別滲透了整體替換，從一般到特殊，以及分類討論的數(shù)學思想.通過這些數(shù)學思想的培養(yǎng)，數(shù)學能力才會有大幅度提高.掌握數(shù)學思想，就是掌握數(shù)學的精髓.

然而，在變式訓練中，不僅要重視數(shù)學思想的滲透，而且要注重數(shù)學方法的靈活應(yīng)用.課本是試題的基本源頭，是高考命題的主要依據(jù)，很多高考題都是在課本的基礎(chǔ)上組合、加工而成的.因此，變式題既要源于課本，又要高于課本.下面以課本中的一道習題為例進行變式教學.

例題：（人教版必修5P47習題2.3B組題4）數(shù)列{ }的前n項和S = + + + +…+ ，研究一下，能否找到求S 的一個公式，你能對這個問題作一個推廣嗎？

分析：本題考查了數(shù)列求和的一種常用方法：裂項相消法，而這種方法在高考中有著廣泛應(yīng)用.

解：數(shù)列{ }的通項公式為a = = - ，

所以S =（ - ）+（ - ）+（ - ）+…+（ - ）=1- = .

類似地，我們可以求出通項公式為a = = （ - ）的數(shù)列的前n項和.

變式1：（2011年全國新課標卷理）等比數(shù)列{a }的各項均為正數(shù)，且2a +3a =1，a =9a a ，

（1）求數(shù)列{a }的通項公式；

（2）設(shè)b =log a +log a +…+log a ，求數(shù)列{ }的前n項和.

分析：（1）問比較簡單，求出首項a 和公比q即可得到a = ，n∈N ；（2）問考察了裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，解法如下：

因為b =log a +log a +…+log a =-（1+2+3+…+n）=- ，

所以 =- =-2（ - ）.

+ +…+ =-2[（1- ）+（ - ）+…+（ - ）]=- ，

故數(shù)列{ }的前n項和為- .

變式2：證明2 -2<1+ + +…+ <2 -1.（n≥2，n∈N ）

分析：學生一般會利用數(shù)學歸納法證明該題，但過程繁瑣，而且從n=k過渡到n=k+1的證明有一定難度；若先將通項進行放縮后再裂項相消則降低了試題的難度.

證明：因為 = > =2（ - ）（n≥2，n∈N ），所以1+ + +…+ >2（ - ）+2（ - ）+…+2（ - ）=2 -2.又因為 = < =2（ - ）.（n≥2，n∈N ），所以1+ + +…+ <1+2（ - ）+2（ - ）+…+2（ - ）=2 -1，即不等式成立.

變式3：（2014年湛江一模理19）已知正數(shù)數(shù)列{a }中，a =1，前n項和為S ，對任意n∈N ，lgS ，lgn，lg 成等差數(shù)列.

（1）求a 和S ；

（2）設(shè)b = ，數(shù)列{b }的前n項和為T ，當n≥2時，證明：S

分析：本題（1）問主要利用累乘法求出a = ，n∈N 和S = ，n∈N ，而對于（2）問，大多數(shù)學生會選擇用數(shù)學歸納法證明，但證明n=k+1時無從下手，因此本問得分率較低.但是裂項相消法的應(yīng)用，為本題提供了方便，解法如下：

解：由（1）得b = = =2[ - ]，且（n+1）！>n+1，n∈N ，從而

T =2[（ - ）+ - +…+（ - ）]=2[1- ]<2，

T =2[1- ]>2（1- ）= =S .

不等式得證.

小結(jié)：例題和三個變式都是裂項相消法的靈活運用，培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力及解題創(chuàng)新能力.

掌握數(shù)學的思想和方法是學習數(shù)學知識的本質(zhì)，是分析數(shù)學、處理數(shù)學、解決數(shù)學問題的方針和策略，是進行探究性學習的工具.數(shù)學方法和思想的教學是提高高中生數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)其創(chuàng)新能力的關(guān)鍵，是一切數(shù)學創(chuàng)新的源泉.因此，變式題練習要力求培養(yǎng)學生對數(shù)學思想的領(lǐng)悟及對數(shù)學方法的靈活運用，這樣，學生的成績才會顯著提高.

數(shù)學教學不提倡題海戰(zhàn)術(shù)，但練習題一定要做到少而精.“一例三變一總結(jié)”教學正是以此為前提，通過常規(guī)例題及融匯了數(shù)學思想和數(shù)學方法的變式訓練，讓學生舉三反一，不斷提高自身的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力.