從高考題探討向量在立體幾何中如何體現“工具”的作用

摘 要： 作為現代數學的重要標志之一的向量已進入了中學數學，為用代數方法研究幾何問題提供了強有力的工具，促進了高中幾何的代數化.在高中數學體系中，幾何占有很重要的地位.有些幾何問題用常規方法解決往往比較復雜，運用向量做行與數的轉化，則使會過程得到大大簡化.向量法應用于平面幾何中時，能將平面幾何中的一些問題代數化、程序化，從而有效解決，體現了數學中數與形的完美結合.

關鍵詞： 向量 立體幾何 證明 計算 運用

空間向量是高中數學中的重要內容之一，是處理空間線線、線面、面面位置關系和夾角的重要工具，是高考考查的重要內容之一.運用向量方法研究立體幾何問題思路簡單，模式固定，能很好地把幾何問題轉化為代數問題，淡化傳統方法的由“形”到“形”的推理過程，使解題變得程序化，從而降低立體幾何問題的難度.下面我就空間向量在立體幾何中的應用談談感悟和體會.

一、利用空間向量證明空間垂直問題

例1.（2010遼寧理19）已知三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=■AB，N為AB上一點，AB=4AN，M，S分別為PB，BC的中點，證明：CM⊥SN.

審題要津：本題空間坐標系易建立，可用坐標法.

證明：設PA=1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系如圖，則P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M（1，0，■），N（■，0，0），S（1，■，0），■=（1，-1，■），■=（-■，-■，0），因為■·■=-■+■+0=0，所以CM⊥SN.

【點評】對坐標系易建立的空間線線垂直判定（證明）問題，常用向量法，即通過證明所證直線的方向向量的數量積為0證明兩直線垂直.

二、利用空間向量處理空間平行關系

例2.（2010湖南理18）在正方體ABCD-A■B■C■D■，E是棱DD■的中點。在棱C■D■上是否存在一點F，使B■F∥平面A■BE？證明你的結論。

審題要津：本題坐標系易建立，可用向量法求解.

解析：以A為坐標原點，如圖建立坐標系，設正方形的棱長為2，則B（2，0，0），E（0，2，1），A■（0，0，2），B■（2，0，2），

∴■=（-2，2，1），■=（-2，0，2），

設面BEA■的法向量為m=（x，y，z），則

m·■=-2x+2y+z=0且m·■=2x+2z=0，取x=1，則z=-1，y=■，

∴m=（1，■，-1）.

假設在棱C■D■上存在一點F，使B■F∥平面A■BE，設F（x■，2，2）（0≤x■≤2），

則■=（x■-2，2，2），則m·■=1×（x■-2）+■×2+（-1）×2=0，解得x■=1，∴當F為C■D■中點時，B■F∥平面A■BE.

【點評】對于易建立坐標系的線面平行問題的向量解法，有兩種思路：（1）用共面向量定理，證明直線的方向向量能用平面內兩條相交直線的方向向量表示，即這三個向量共線，根據共面向量概念和直線在平面外，可得線面平行；（2）求出平面法向量，然后證明法向量與直線的方向向量垂直即可.對于探索性問題，通常先假設成立，設出相關點的坐標，利用相關知識，列出關于坐標的方程，若方程有解，則存在，否則不存在.注意：（1）設點的坐標時，利用點在某線段上，設出點分線段所成的比，用比表示坐標可以減少未知量，簡化計算；（2）點的坐標的范圍.

三、利用空間向量處理異面直線夾角、線面角、二面角等空間角問題

總之，向量在立體幾何中的應用為我們解決立體幾何問題提供了新的解題思路和方法，打破了傳統解法“一作、二證、三計算”的模式，突破了傳統解法中“添置輔助線”的難點，將立體幾何中“形”的問題轉化為了“數”的問題，開創了解決立體幾何問題的新模式.

參考文獻：

[1]孫曉雄.向量在立體幾何中的應用[J].考試周刊，2008（6）：20-21.

[2]劉八芝.向量在中學數學教學中的應用[J].鎮江高專學報：2003（2）：2.

[3]李雪霞.空間向量在立體幾何中的應用[J].高中數學教與學：2004（8）：96-98.