授人以魚，不如授人以漁

摘 要： 等差數(shù)列是最基本、最重要的數(shù)列之一，等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)是需要學(xué)生掌握的。作者認(rèn)為推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式時，可以賦予其生動、鮮活的背景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生更容易抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)特征，體會探索與探究的樂趣。在實際課堂教學(xué)中，關(guān)注學(xué)情，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，探索問題，解決問題，最終使各個層次的學(xué)生都得以發(fā)展。

關(guān)鍵詞： 等差數(shù)列求和 教學(xué)設(shè)想 教學(xué)反思

著名數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：“學(xué)習(xí)任何東西最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)。”在提倡素質(zhì)教育的今天，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式在不斷發(fā)生變化，當(dāng)然目的都在于鑄就高效課堂。想要實現(xiàn)高效課堂，就要求一線教師理解教材，并在實際課堂教學(xué)中關(guān)注學(xué)情，從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，探索問題，解決問題，最終使各個層次的學(xué)生都得以發(fā)展。

等差數(shù)列是最基本、最重要的數(shù)列之一，等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)是需要學(xué)生掌握的。以往這節(jié)數(shù)學(xué)課教師多注重推導(dǎo)技巧和結(jié)果的教學(xué)，給學(xué)生一種枯燥的感覺。我認(rèn)為，推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式時，可以賦予其生動、鮮活的背景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生更容易抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)特征，體會探索與探究的樂趣。數(shù)學(xué)的魅力不僅在于嚴(yán)謹(jǐn)，更在于不斷發(fā)現(xiàn)、不斷更新、不斷驚喜的刺激與挑戰(zhàn)。

一、教學(xué)設(shè)想

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題。

問題1：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是17世紀(jì)莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，它宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲嵌，圖案之細(xì)致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有21層，奢靡之程度，可見一斑。你知道這個圖案一共用了多少寶石嗎？（教師用多媒體放映泰姬陵風(fēng)光圖片和三角形圖案。）

（學(xué)生看到問題后開始思考、運(yùn)算，不少學(xué)生快速給出了結(jié)果。）

設(shè)計意圖：通過鮮活的歷史背景引入，給本節(jié)數(shù)學(xué)課一個輕松、神秘的開端，激發(fā)學(xué)生探索的熱情。

第二環(huán)節(jié)：探索思路，體驗過程。

師：你是怎樣計算出結(jié)果的？

生1：全部加起來即可。

生2：（1+21）+（2+20）+（3+19）+…+（10+12）+11=231

師：同學(xué)們覺得，哪種方法快捷呢？你喜歡哪種方法呢？

生：第二種。

師：請同學(xué)們仔細(xì)體會這種研究方法及其特點，并給這種方法取個名字。

（生思考）

共同得出：首尾配對。

師：為什么要配對？（方法一是求21個不同數(shù)的和，方法二是求10個相同數(shù)的和再加11，“不同數(shù)”與“相同數(shù)”是這個問題的本質(zhì)。相同數(shù)求和是一個簡單的問題，將“不同數(shù)求和”轉(zhuǎn)化為“相同數(shù)求和”，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想是推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的精髓。）

問題2：計算1+2+3+…+100=？

生易得：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050，即首尾配對得到上述結(jié)果。

問題3：計算1+2+3+…+n=？

（學(xué)生經(jīng)過討論可以得出，對n進(jìn)行分類討論。）

當(dāng)n為偶數(shù)時，1+2+3+…+n=■；

當(dāng)n為奇數(shù)時，1+2+3+…+n=■（n+1）+■=■。

師：是否一定要分類討論呢？能否避開分類討論，達(dá)到“配對”的目的？

師：上面的圖形對你是否有啟發(fā)？

生：（恍然大悟）可以這樣做：

1 + 2 + 3 +… + n

+ n +（n-1）+（n-2）+…+ 1

（n+1）+（n+1）+（n+1）+…+（n+1）=n（n+1）

師：非常好，“倒序相加”有效地解決了這個問題。

設(shè)計意圖：這一環(huán)節(jié)的設(shè)計，主要是突破以下兩個問題，為什么要“倒序相加”？怎樣實現(xiàn)“倒序相加”？筆者認(rèn)為這是本節(jié)課的數(shù)學(xué)本質(zhì)和教學(xué)難點。通過層層遞進(jìn)的問法，使得學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、總結(jié)，體會到倒序相加法的優(yōu)勢，從而得出等差數(shù)列的前n項和公式，體驗從特殊到一般的過程。

第三環(huán)節(jié)：觀察比較，得出結(jié)論。

師：你能根據(jù)前面的方法推導(dǎo)出等差數(shù)列的前n項和嗎？

生：等差數(shù)列求和公式：S■=■=na■+■d

聯(lián)想：

S■=■ S■=na■+■d

設(shè)計意圖：通過觀察公式S■=■的結(jié)構(gòu)，類比聯(lián)想梯形的面積公式及其推導(dǎo)方法，從幾何角度讓學(xué)生體會“倒序相加”法，實際上借助了補(bǔ)形的數(shù)學(xué)思想，更進(jìn)一步揭示了這一方法的數(shù)學(xué)本質(zhì)，同時也便于學(xué)生記住公式。

第四環(huán)節(jié)：牛刀小試。

例1：求sin■1°+sin■2°+sin■3°+…+sin■88°+sin■89°的值

設(shè)計意圖：“倒序相加”法的再次體驗和應(yīng)用。

例2：（2013年高考新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理））等差數(shù)列{a■}的前n項和為S■，已知S■=0，S■=25，則nS■的最小值為？搖 ？搖.

設(shè)計意圖：對等差數(shù)列前n項和公式的靈活運(yùn)用。

二、教后反思

新課程賦予教師和學(xué)生更多自主選擇、自我發(fā)展的機(jī)會，新教材為教師和學(xué)生提供了選擇、發(fā)展的載體。教師在備課時，應(yīng)合理有效地應(yīng)用教材，善于從教材中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的背景、方法、地位，努力挖掘思想的精髓，引領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維方法認(rèn)識問題、解決問題。教師在授課時，應(yīng)關(guān)注學(xué)情，考慮學(xué)生的接受能力、思維能力，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生成為課堂的主體，幫助學(xué)生實現(xiàn)自主學(xué)習(xí)。當(dāng)前，關(guān)于新課程課堂上教師與學(xué)生的關(guān)系，一位前輩曾說：“教師與學(xué)生就像駕車中的主副司機(jī)，教師常常不放心我們年輕的小司機(jī)，怕他們走彎路而喋喋不休地引導(dǎo)，或者干脆讓他們在邊上欣賞我們嫻熟的車技，學(xué)生根本談不上獨立駕駛，結(jié)果他們永遠(yuǎn)不敢一個人上路。”我們要相信學(xué)生，給學(xué)生思考的舞臺，給學(xué)生思考的時間，給學(xué)生表現(xiàn)的機(jī)會，讓學(xué)生自主探索，通過努力自己發(fā)現(xiàn)，生成知識體系，讓學(xué)生既能得到“魚”更能得到“漁”。

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書數(shù)學(xué)必修5.北京：人民教育出版社，2007.