均值不等式的幾例難點透析

均值不等式是求函數最值的一個重要工具，同時也是高考常考的一個重要知識點.下面談談運用均值不等式求解函數最值的一些難點.

羅列幾個常用且重要的均值不等式：

①a +b ≥2ab？圳ab≤ （a，b∈R），當且僅當a=b時，“=”號成立；

②a+b≥2 ？圳ab≤（ ） （a，b∈R ），當且僅當a=b時，“=”號成立；

③a +b +c ≥3abc？圳≤ （a，b，c∈R ），當且僅當a=b=c時，“=”號成立；

④a+b+c≥3 ？圳abc≤（ ） （a，b，c∈R ），當且僅當a=b=c時，“=”號成立.

注：①注意運用均值不等式求最值時的條件：一“正”、二“定”、三“等”；

②熟悉一個重要的不等式鏈： ≤ ≤ ≤ .

一、乘方后使用均值不等式

常見解決方法：將所得出的正函數平方、立方……n次方，然后再使用均值不等式求解.

例1：已知θ∈（0，π），求函數y=sin （1+cosθ）的最大值.

解：θ∈（0，π），y= ·（1+cosθ）

∴y = ·（1+cosθ） = ·（2-2cosθ）·（1+cosθ）·（1+cosθ）

≤ ·[ ] = ，

∴y≤ .

當且僅當2-2cosθ=1+cosθ即cosθ= 時取到等號，所以y的最大值為 .

二、引參后使用均值不等式

常見解決方法：有些和（積）不為常數的函數求最值時，可通過引入參數后，再使用均值不等式求解.

例2：求函數y=sin x·cos x+ 的最小值

解：引入待定參數λ，μ，且λ+μ=4，則有

y= + = + +

≥2 + =2 +μ

當且僅當 = 且sin 2x=1時取到等號，此時λ= ，μ= ，所以當sin 2x=1時，y有最小值 .

三、連續使用均值不等式

常見解決方法：有些函數在求最值時，需要幾次使用均值不等式進行放縮才能達到目的.放縮時要保證幾個等號能同時成立.

例3：在三棱錐一個頂點處的三個面角都是直角，求它的外接圓半徑和內切圓半徑R∶r的最小值.

解：設直角頂點處三條棱長分別是x，y，z，那么由立體幾何知識易知

R= ，r= ，

所以 = ·（xy+yz+xz+ ）

≥ ·（3· + ）= =

當且僅當x=y=z時取到等號，所以R∶r的最小值是 .

四、使用不等式鏈

常見解決方法：將不等式鏈變形，或將題干向不等式鏈化簡如將解析式兩邊平方構造出“和為定值”湊均值不等式的三個條件.

例4：已知x，y為正實數，3x+2y=10，求函數w= + 的最值.

解法一：若利用不等式鏈中算術平均與平方平均之間的不等關系

≤ ，則本題很簡單.

+ ≤ = =2 .

解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏.

w>0，w =3x+2y+2 · =10+2 ·

≤10+（ ） ·（ ） =10+（3x+2y）=20，

∴w≤ =2

變式：求函數y= + （

分析：觀察題干，注意到2x-1與5-2x的和為定值.

解：y =（ + ） =4+2 ≤4+（2x-1）+（5-2x）=8，

又y>0，所以0

當且僅當2x-1=5-2x，即x= 時取等號.

故y =2 .

由上述例子剖析了數學中少見的均值不等式的題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，雖然方法表現得不同，但其實質都為“一正二定三相等”三個條件應用的統一，這也正體現了數學中的“統一美”.

均值不等式是一個考查學生綜合素質的很好途徑，它涉及基本初等函數的圖像，滲透轉化、化歸、數形結合等思想方法，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到積極的作用.