淺論用矩陣的秩判斷平面的位置關系

摘 要： 本文利用矩陣的秩的相關概念和定理，給出了空間中三個平面的八種位置關系的判定.

關鍵詞： 矩陣的秩 系數矩陣 增廣矩陣

矩陣的秩不僅在高等數學中有著重要的實際背景和理論意義，在中學數學的空間解析幾何中也發揮著重要作用.

1.矩陣的秩的相關概念與定理

定義1：向量組的極大無關組所含向量的個數稱為這個向量組的秩.

定義2：矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩；矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩.

矩陣的秩的兩個等價定義：

（1）矩陣的列秩等于矩陣的行秩，統稱為矩陣的秩.

（2）矩陣中最大階非零子式的階數稱為矩陣的秩.

根據文獻[1]與[2]，我們有如下引理：

引理1：非齊次線性方程組

a x +a x +…+a x =b a x +a x +…+a x =b …… a x +a x +…+a x =b

有解的充要條件是：它的系數矩陣A=a a … a a a … a … … …a a … a 與增廣矩陣 =a a … a b a a … a b … … … …a a … a b 有相同的秩.若秩（A）=秩（ ）=r，當r=n時，方程組有唯一解；當秩r

引理2：系數矩陣的秩不大于增廣矩陣的秩.

引理3：設空間兩平面的方程為：

π ：A x+B y+C +D =0π ：A x+B y+C +D =0，

兩平面π 與π 相交的充要條件是A ∶B ∶C ≠A ∶B ∶C ，

平行的充要條件是 = = ≠ ，

重合的充要條件是 = = = .

2.主要結論

定理：設空間中三個平面π ，π ，π 的方程為：

π ：A x+B y+C z+D =0π ：A x+B y+C z+D =0π ：A x+B y+C z+D =0 ①

其系數矩陣與增廣矩陣分別為：

A=A B C A B C A B C ， =A B C -D A B C -D A B C -D .

若秩（A）=r，秩（ ）= ，根據線性方程組的理論，則空間中三個平面的位置關系有下列八種情況：

（1）三個平面交于唯一點，則有r= =3；

（2）三個平面交于一條直線，且都不重合，則有r= =2，且方程組①中任意兩個方程不同解；

（3）三個平面交于一條直線，且其中兩個重合，另一個不重合，則有r= =2，方程組①中有兩個方程同解；

（4）三個平面都重合，則有r= =1；

（5）三個平面兩兩相交，且三條交線相互平行，但任意兩條交線都不重合，則有r=2， =3，且方程①中任意兩個方程都有公共解，但不同解；

（6）三個平面中有兩個平行但不重合，第三個平面與這兩個平面相交，則有r=2， =3，且方程①中有兩個方程無解，另一個方程與這兩個方程都有公共解；

（7）三個平面相互平行且都不重合，則有r=2， =3，且方程①中任意兩個方程都無公共解；

（8）三個平面中有兩個重合，另一個與這兩個平行但不重合，則有r=1， =2.

證明：（1）三個平面交于唯一點的充要條件是三個平面的方程只有唯一的公共解，即方程組①有且僅有唯一解，由引理1和引理3可得r= =3.

（2）三個平面交于一條直線，則方程組①有無限解，由引理1得到r= <3，若秩為1，由引理3知三平面重合，與條件矛盾，所以r= =2.又三平面都不重合，可得任意兩方程都不是同解方程.

（3）證明與（2）類似.

（4）三平面重合的充要條件是三個方程為同解方程，即r= =1.

（5）由條件可知三平面無公共點，即方程組①無解，由引理1知r≠ ，

由引理2，r≠3，否則r= =3與方程組①有解矛盾.

當r=1時，則三平面未知量的系數分別成比例，由引理3知道三平面相互平行，與已知矛盾，所以有r=2， =3，且方程①中任意兩個方程都有公共解，但不同解.

（6）兩平面平行，由引理3知有兩方程的未知量系數對應成比例，得r=2， =3.另一個平面與其余兩個相交，說明方程①中有兩個方程無解，另一個方程與這兩個方程都有公共解.

（7）證明與（6）類似.

（8）有兩個平面重合可得有兩個方程為同解方程，可得 =2.第三個平面與前兩個平行不重合，說明三平面無公共點，即方程組①無解，只能r=1.

我們容易得出，該定理的條件不僅是必要條件而且是充要條件.

例題：判斷下列各平面的位置關系：

π ：x-y-z+1=0π ：2x-2y+-2z-1=0π ：2x+3y-z+4=0.

解：設系數矩陣A的秩為r，增廣矩陣 的秩為 ，

=1 -1 -1 -12 -2 -2 12 3 -1 -4 1 -1 -1 -10 0 0 30 5 1 -2 1 -1 -1 -10 5 1 -20 0 0 3

故r=2， =3，其中π 與π 方程無解，可得π 與π 平行，而π 與π 和π 的方程都公共解，可知π 與π 和π 相交，屬于定理中類型（6）.

除此之外，還可以用矩陣的秩判定空間兩直線，直線與平面的位置關系，可見矩陣的秩在解析幾何中的應用很廣泛，我們需要不斷學習和研究.

參考文獻：

[1]張禾瑞，郝鈵新.高等代數（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]呂林根，許子道.解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]安芹力.用矩陣的秩判斷兩空間直線及直線與平面的位置關系[J].高等數學研究，2005，8（3）：54-57.