極限的求法綜述

摘 要： 本文歸納了15種求極限的基本方法.對一般的極限用這些方法可以求出來，較復雜的可能要綜合幾種方法才能求出.關鍵是“運用之妙，存乎一心”.

關鍵詞： 極限 求法 數學分析

極限法在現代數學乃至物理等學科中有著廣泛的應用，這是由它本身固有的思維功能所決定的.極限法揭示了變量與常量、無限與有限的對立統一關系，是唯物辯證法的對立統一規律在數學領域中的應用.借助極限法，人們可以從有限認識無限，從“不變”認識“變”，從直線形認識曲線形，從量變認識質變，從近似認識準確.

極限的原始思想可追溯到古代.在中國，公元前4世紀的公孫龍有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的提法，古希臘歐多克斯提出“窮竭法”，后來歐幾里得、阿基米德等對面積、體積的研究，都導向極限思想.

極限思想貫穿整個高等數學課程之中，給定函數的極限的求法是極限思想的基礎，現總結其求法如下.

一、利用極限的四則運算性質求極限

對和、差、積、商形式的函數求極限，自然會想到極限四則運算法則，法則本身很簡單，但為了能夠使用這些法則，往往需要先對函數做某些恒等變形或化簡，而要采用怎樣的變形和化簡，要根據具體的算式確定.常用的變形或化簡有分式的約分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函數的恒等變形、某些求和或求積公式及適當的變量替換.

為敘述方便，我們把自變量的某個變化過程略去不寫，用記號limf（x）表示f（x）在某個極限過程中的極限.

二、利用兩個重要極限公式求極限

兩個重要極限為： =1， （1+ ） =e或 （1+x） =e.使用它們求極限時，最重要的是對所給的函數或數列做適當變形，使之具有相應的形式，有時也可通過變量替換使問題簡化.

三、利用夾逼準則求極限

夾逼準則：若一正整數N，當n>N時，有x ≤y ≤z 且 x = z =a，則有 y =a.

利用夾逼準則求極限關鍵在于從x 的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數列{y }和{z }，使得y ≤x ≤z .

四、利用單調有界準則求極限

單調有界準則：單調有界數列必有極限，而且極限唯一.

利用單調有界準則求極限，關鍵是先證明數列的存在，然后根據數列的通項遞推公式求極限.

五、利用函數的連續性求極限

這種方法適用于求復合函數的極限.如果u=g（x）在點x 連續g（x ）=u ，而y=f（u）在點x 連續，那么復合函數y=f（g（x））在點x 連續.即 f（g（x））=f（g（x ））=f（ g（x））.

六、利用無窮小量的性質求極限

無窮小量的性質：無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量.如果 f（x）=0，g（x）在某區間（x -δ，x ），（x ，x +δ）有界，那么 f（x）·g（x）=0.

七、利用等價無窮小量代換求極限

等價無窮小量：當 →1時，稱y，z是等價無窮小量：記為y～z.在求極限過程中，往往可以對其中的無窮小量或它的主要部分做代換.但是，不是乘除的情況不一定能這樣做.

八、利用導數的定義求極限

導數的定義：函數f（x）在x 附近有定義，？坌Δx則Δy=f（x +Δx）-f（x ）.如果 = 存在，則此極限值就稱函數f（x）在點x 的導數，記為f′（x ）.即f′（x ）= .在這種方法的運用過程中，首先要選好f（x），然后把所求極限表示成f（x）在定點x 的導數.

九、利用洛必達法則求極限

洛必達法則對不定式的極限而言，是一種簡便而又有效的方法，但洛必達法則只能對 或 型才可直接使用，其他待定型必須先化成這兩種類型之一，然后應用洛必達法則.洛必達法則只說明當lim 等于A時，那么lim 也存在且等于A.如果lim 不存在時，并不能斷定lim 也不存在，只是這時不能用洛必達法則，而必須用其他方法討論lim .

使用時，注意適當地化簡、換元，并與前面的其他方法結合使用，可極大地簡化運算.

十、利用麥克勞林展式或泰勒展式求極限

設函數f（x）在x=0的某個鄰域內有定義，且f （0）存在，則對該鄰域內任意點x有如下表示式成立

f（x）=f（0）+f′（0）x+ +…+ x +0（x ）.

此式稱為f（x）的具有皮亞諾余項的n階麥克勞林展式，對某些較復雜的求極限問題，可利用麥克勞林展式加以解決，必須熟悉一些常用展式.

十一、利用定積分定義及性質求極限

若遇到某些求和式極限問題，能夠將其表示為某個可積函數的積分和，就能用定積分求極限，關鍵在于根據所給和式確定被積函數及積分區間.

十二、利用級數收斂的必要條件求極限

級數收斂的必要條件是：若級數 u 收斂，則 u =0，故對某些極限 f（n），可將函數f（n）作為級數 f（n）的一般項，只需證明此級數收斂，便有 f（n）=0.

十三、利用冪級數的和函數求極限

當數列本身就是某個級數的部分和數列時，求該數列的極限就成了求相應級數的和.此時常可以輔助性地構造一個函數項級數（通常為冪級數，有時為Fourier級數），使得要求的極限恰好是該函數項級數的和函數在某點的值.

十四、利用換元法求極限

當一個函數的解析式比較復雜或不便于觀察時，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求.

極限是描述數列和函數在無限過程中的變化趨勢的重要概念，是從近似認識精確，從有限認識無限，從量變認識質變的一種數學方法.同時，極限是微分的理論基礎，研究函數的性質實際上就是研究各種類型的極限，如連續、導數、定積分等，由此可見極限的重要性.因而如何求極限，怎樣使求極限變得更容易顯得尤為重要.

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