例談數學解題教學

摘 要： 解題教學是高中數學教學最核心的部分，在雙基教學基礎上的解題教學，對學生的數學水平和數學學習能力進行了全面考查.高中數學的試題類型較多，如何引導學生合理使用學過的數學知識，將解題教學講授得深入人心，是解題教學的關鍵.本文將從庖丁解牛的角度出發，例談在高中數學解題教學中的心得和想法.

關鍵詞： 高中數學 解題教學 步驟化策略 圖形化策略

波利亞說：解題就是“解決問題”，掌握數學就是意味著善于解題，中學數學教學的首要任務就是要加強解題訓練.要進行解題訓練，需要教師有廣闊的視野 .

新課程改革以來，教師對解題教學改變并不根本，依舊圍繞著傳統的解題教學方式，如變式教學、專題教學、錯題教學、反復訓練等.效果看似很好，但久而久之就會發現：學生依舊在錯誤的問題上錯誤.究其原因有學生的知識體系不完整、知識不能融會貫通，造成其認為高中數學的題型多，消化鞏固不了；對所學的知識無法牢固掌握，因其雙基知識不夠牢固，學生對問題無法通過現象理解雙基的考查點；數學知識交匯處能力的下降、數學思想的缺失，造成其解決較難的數學綜合性問題時，不能達到高考考查能力的要求.因此，筆者認為解題教學只能開辟獨特的行徑：利用庖丁解牛式的方式將數學問題分而求之，教會學生將復雜問題切割化處理，培養學生分割解決問題的思想.

1.解牛的步驟化策略

中檔的數學試題的得分率直接決定學生的分數高低.半數以上的學生在處理這些問題時，無法將問題過程清晰地步驟化，現就此列舉一些案例.

案例1：已知函數f（x）=log（4+1）+kx （k∈R）是偶函數.（1）求k的值；（2）設g（x）=log（a·2-a）若函數f（x）與g（x）的圖像有且只有一個公共點，求實數a的取值范圍.

步驟化1：偶函數問題的處理方式？（基本知識）

步驟化2：函數圖像只有一個公共點如何轉化為數學語言？利用函數圖像還是利用代數方式？

步驟化3：考慮到函數圖像比較難作出，代數化成為主要選擇方向——那么公共點問題轉化為方程的根來求解.

步驟化4：去對數后，對方程根問題進一步轉化為函數零點問題是關鍵.

步驟化5：很自然能夠想到利用換元思想，將問題轉化為二次函數的零點問題，通過分類討論思想解決.

解析：（1）由函數f（x）是偶函數可知，f（x）=f（-x），所以log（4+1）+kx=log（4+1）-kx，所以log=-2kx，即x=-2kx對一切x∈R恒成立，得k=-.

（2）函數f（x）與g（x）的圖像有且只有一個公共點，即方程log（4+1）-x=log（a·2-a）有且只有一個實根，即方程2+=a·2-a有且只有一個實根.令t=2>0，則方程（a-1）t-at-1=0有且只有一個正根.①當a=1時，則t=-，不合題意；②當a≠1時，△=0，解得a=或-3，若a=，則t=-2，不合題意；若a=-3，則t=；③若方程有一個正根與一個負根，即<0，解得a>1.綜上所述，實數a的取值范圍是{-3}∪（1，+∞）.

說明：學生未能解決問題的主要原因是：其一，方程根問題處理成函數零點問題的轉化思想缺失；其二，學生對分類討論不全或處理不夠熟練.這樣的試題具備多步講解的價值，解題教學中教師利用啟發式不斷引導學生往正確的數學道路上靠攏，是典型的庖丁解牛式教學的范例，通過一步一步分析講解，引導學生領悟，這樣的問題含有的雙基知識完全是學生所掌握的.

2.解牛的圖形化策略

很多問題具備了代數特性，也有幾何背景.幾何方式能解決的問題一定具備其意想不到的魅力，在這樣的問題中庖丁解牛，給予學生的沖擊是不言而喻的.筆者認為，這樣的教學我們可以多嘗試，以圖形化的方式‘解牛’，增長學生獲取數學的經驗.

案例2：已知=（2，0），=（2，2），=（cos α，sin α），則與夾角的取值范圍是？搖？搖？搖？搖.

圖形化：以O為坐標原點，B（2，0），C（2，2），將向量CA分解為向量OA與向量OC，利用向量減法可知，A的軌跡是以C為圓心，為半徑的圓上的點，此時向量OA與向量OB的夾角易從圖形中得到.

解析：=+=2+cosα，2+sinα設A（x，y），則x=2+cosαy=2+sinα，其中α是參數，消掉α，即（x-2）+（y-2）=2，這是一個以點（2，2）為圓心、為半徑的圓，作出的圖像如圖所示，從圖中可知兩向量，夾角的取值范圍是[，].

說明：本題難解的原因是，學生往往利用向量夾角公式直接求解，將“本牛”想一擊即中，從思維度的角度來說，夾角公式的使用思維量極小，但是一般學生是不可能從其負責的函數關系式中得到夾角的范圍.如何‘解牛’呢？利用圖形化策略，我們將此‘牛’分割為：向量加減法、動點軌跡、平面幾何中的角度關系三個基本知識點，既簡捷又高效.

再難的高考問題也是一些基本知識和基本技能的組合堆砌，教師在解題教學中要引領學生如何分析、如何思考、如何層層遞進、如何剝去新題為外包裝的嘗試和想法，所以我們的解題教學要從雙基知識出發，引領學生看到數學難題背后的最本質、最樸實的知識.

參考文獻：

[1]普通高中課程標準教學要求 .江蘇教育出版社.

[2]羅增儒.中學數學解題的理論與實踐.廣西教育出版社.

[3]波利亞.怎樣解題.上海科技教育出版社.