線性方程組教學方法初探

摘 要：線性方程組的求解是線性代數這門課的授課重點和難點。講清楚了對于學生而言非常容易求解，若是講解不清楚學生根本不會解題。根據多年的授課經驗總結出一種深受學生歡迎的授課方法，教學效果良好。

關鍵詞：線性方程組；基礎解系；向量組；矩陣

在線性代數這門課程中線性方程組的求解非常重要，雖然只需要講授4個課時，但是它的處理方法在極大無關組、向量組的秩以及線性相關性，以及二次型化為標準型的求解中，都會用到。因此，掌握線性方程組的求解是相當重要的。

在以往的教學過程中我是按照教材書上提供的內容順序處理教的：第一個課時講授齊次和非齊次線性方程組的性質，通解的構成和基礎解系的定義及求法；第二個課時專門利用矩陣的初等行變換求解線性方程組，結果教學效果相當不理想。后來我嘗試了一種新的講授方法：第一次課，講授完線性方程組的通解的構成以后，提前先講利用矩陣的初等行變換法求解線性方程組；第二次課，專門講解基礎解系的求法及證明過程。從學生的課堂聽課效果以及作業來看，效果良好。以120人的班級為例，講授完完全不會做的學生僅有3人，部分不會做的也僅有18人，教學質量明顯提高。

僅僅是重組了一下教學內容的順序，為什么能取得如此良好的效果呢？

一、這種講授方法符合由簡入繁、由淺入深的認知規律

人們認識事物的一般規律都是由簡單到復雜、由淺顯到深入逐步深化的一個過程。第一種講授方法的弊端在于，講完線性方程組的性質概念及結構后，接著就講基礎解系的求法，這是一個非常抽象枯燥的過程。要求先求系數矩陣的秩，然后利用克萊姆法則求出齊次線性方程組的所有解，再利用向量組的線性相關性，找出最大無關組的解，也就是基礎解系，最后還要證明這一組解的線性組合就是齊次線性方程組的通解。步驟很多，用到的概念和方法也很多，學生聽起來非常吃力，稍微一不注意，后面就跟不上了，就不想再繼續聽了，因此教學效果不好。而第二種授課方法，方法比較單一，用到的矩陣的相關性質已經都熟練掌握。對于非齊次線性方程組，這個方法還可以同時求出對應的齊次線性方程組的一個基礎解系和非齊次線性方程組的一個特解，因而通解很容易就寫出來了。這個方法學生很容易接受，聽課時注意力也比較集中，從而能夠做到熟練解題。

二、這種講授方法符合先入為主的記憶規律

實踐告訴我們，在認識客觀事物時，第一印象至關重要，記憶時間也最長。學習也是這樣，當學生學習了通解的結構組成以后，非常急于了解求通解的方法，求知欲很強。第一種方法用的知識較多，求解步驟也很多，理論性很強，推導過程很長，過于枯燥。這樣的話，在一定程度上影響了學生的學習積極性，并且產生一種畏難情緒和厭煩心理，不能夠集中注意力聽課。因此第二個課時所講的利用矩陣的初等行變換法求解線性方程組的內容，學生也不認真去聽，不認真去練，效果不好。而第二種授課方法，由于方法簡單易懂，留給學生的第一印象比較好，能夠引起學生的學習興趣，并且一學就會，一下子就能夠把學生的注意力全部集中起來。積極的情緒能夠產生積極的心理狀態和效果，學習起來更加容易掌握，記起來就牢固一些。

三、這種講授方法符合工科類學生的學習心理

數學是自然科學的一門基礎性學科，是打開自然科學寶庫的一把鑰匙。數學的概念和方法掌握的程度，直接影響到專業課學習的難易。工科院校的學生都比較重視數學課程的學習，但是他們畢竟不是數學專業的學生，他們只需要掌握正確運用數學中的概念和方法，熟練解決專業和實際工作中所遇到的各種實際問題，不需要也沒有完全有必要去搞清楚理論性的數學性質推導和證明。因為這個原因，講師在授課時對于定理的證明和推導，只需要講清楚思路和方法就行，盡量要求語言精練，證明步驟一定要簡練。把授課的重點放在講清楚這個定理和法則的用途，怎么應用，應該注意哪些問題，千萬要注意不要只重視定理的證明過程，忽視了實際應用的導向，否則只會使學生聽得頭昏腦漲，也不理解這個定理的使用，對專業課程的學習也沒有絲毫幫助。

在線性方程組的求解過程中學生常常會提出這樣一個問題：基礎解系中所含有的極大無關組的解到底有多少？怎樣去檢驗所求出的解是不是原來給出方程組的解？對于這個問題，我們在授課過程中要特別明確出方程組中含有未知量的個數，系數矩陣的秩以及基礎解系中所含有的線性無關的解的個數這三個概念之間的關系。若是明確了檢驗所求解的方法，從而能夠避免學生學習過程中可能出現的各種問題，提高其解題正確性。

參考文獻：

錢椿林.線性代數.高等教育出版社，2004.

編輯 溫雪蓮