待定系數法構造等比數列求通項公式

數列的通項公式是從函數的視角反映數列的本質的，而待定系數法又是高中數學中重要的方法之一，借助該方法構造等比數列可以求出幾類數列的通項公式。

類型一：形如an+1=Aan+B（A≠0，B≠0）的數列.

例1.已知數列an滿足：a1=1，an+1=4an+1（n∈N*），求數列an的通項公式.

類型二：形如an+1=Aan+Bn（A≠0，B≠0）的數列.

例2.已知數列an滿足a1=1，an+1=2an+4n（n∈N*），求數列an的通項公式.

類型三：形如an+1=Aan+Bn2 +Cn+D（A≠0，B≠0，C≠0，D≠0）的數列.

例3.已知數列an滿足：a1=1，an+1=2an+n2+3n+1，求數列an的通項公式.

解析：因為a1=1，an+1=2an+n2+3n+1，設

an+1+x（n+1）2+y（n+1）+z=2（an+xn2+yn+z）展開化簡得：

an+1=2an+xn2+（y-2x）n+z-x，根據待定系數法，與已知條件比較系數得：

x=1，y-2x=3，z-x=1，故：x=1，y=5，z=2，代入所設的形式中得：

an+1+（n+1）2+5（n+1）+2=2（an+n2+5n+2），

例4.已知數列an滿足：a1=8，an+1=4an-6·2n+1（n∈N*），求數列an的通項公式.

解析：因為a1=8，an+1=4an-3·2n+1，設an+1-x·2n+1=4（an-x·2n），展開得an+1=4an-2x·2n.由待定系數法知x=3再將x=3，代入上面已設的形式中得：

an+1-3·2n+1=4（an-3·2n）從而數列an-3·2n是以2為首項，4為公比的等比數列。故，an-3·2n=2×4n-1，即an=2×4n-1+3·2n

類型五：形如an+1=Aan+Bm2+Cn+D（A≠0，B≠0，C≠0，D≠0）的數列.

例5.已知數列an滿足：a1=-1，an+1=-2an-4·3n-3n+2（n∈N*），求數列an的通項公式.

解析：設an+1=x·2n+1+y（n+1）+z=-2（an+x·2n+yn+z），展開整理得：

an+1=-2an-4x·2n-3yn-3z-y，由待定系數法知-4x=-4，-3y=-3，-3z-y=2.所以有x=1，y=1，z=-1代入上面已設的形式中得：

編輯 溫雪蓮