工科線性代數教學的探索

摘 要：為了適應社會的發展需要，大學教育體系以及培養計劃一直在調整，在理論教育向社會實踐的轉化過程中，工科線性代數課程的課時相應地進行了消減。而此門課程是理論性強、應用性非常廣的基礎課程，如何合理地利用有限的時間來將相應的內容講完，并保證學生能有效地應用這些知識，就是課程的教學目的。

關鍵詞：矩陣；線性方程組；初等變換；第二課堂

工科線性代數這門課程是以求解線性方程組為主要目的而開設的一門公共基礎課。它一般安排在學習完高等數學課程后再來學習。但線性代數這門課程卻是相對獨立的，它重新規定了符號（矩陣），重新定義了加、減、乘、除（逆矩陣），建立了自己的一套系統，就使得學生在接受新知識時相對較慢；而大量的定理、證明和概念使得學生感到陌生和煩躁；行列式計算、方程組求解等的計算量更使得學生望而卻步。

如何克服和解決這些問題，使得同學們很好地掌握這門課程，那么，我們就必須對教材內容有一個深入的了解。

工科線性代數其安排的章節一般為：行列式—矩陣—線性方程組的解—向量組的線性相關性—相似矩陣和二次型。由于此課程是以求解線性方程組為目的而開設的課程：第一章用一個二元方程組的求解先引入行列式，再利用克拉默法則求解n個未知數n個方程的方程組；第二章介紹了矩陣方程的求解；第三章求解向量方程組，并推廣到矩陣方程；第四章向量組的線性表示和相關性的研究，其實質就是非齊次線性方程組和齊次線性方程組是否有解的判斷；第五章相似矩陣和二次型主要是研究特征值和特征向量的問題，而特征向量的問題其實質就是特殊方程的求解問題。因此工科線性代數的教學應該以求解線性方程組為主線，以矩陣為主要知識內容，以矩陣的初等變換為主要計算工具。

在具體課程教學過程中，由于學生新接觸這門課程，需要一個過程來接受這些符號和說法，因此我們要盡量地放慢講課的節奏，多打些伏筆，多聯系些以前相關的例子。在進行計算推導時，以初等變換為主線貫穿整個過程；在講解理論推導時，以線性方程組有解的充要條件為主線貫穿整個教學。

一、計算方面

在介紹行列式的性質時，對把普通行列式化為三角行列式的計算過程要進行仔細的講解，主要涉及行列式性質的第2，3，5個性質，利用這三個性質我們可以將一個行列式化成三角行列式而計算出行列式的值，同時它還是計算方程解的最初環節。

由于行列式可以看成方陣所對應的行列式，三角行列式中的元素對應的方陣為一個行階梯形矩陣，因此把行列式化成三角行列式的過程其實對應著利用初等變換作為工具將一個矩陣化成階梯形矩陣的過程：

方陣（行列式）？邛階梯形矩陣（三角行列式）？邛行最簡形矩陣 對于線性方程組，我們在學習矩陣乘法后將之化成了Ax=b的形式，即線性方程組與矩陣（A，b）一一對應，求解方程組的過程就轉化為將普通矩陣化為行最簡形矩陣的計算：

（A，b）？邛行階梯形矩陣？邛行最簡形矩陣？邛同解方程組？邛方程級的解

由于它們之間的這些關系，我們在講解將矩陣的初等變換（即普通矩陣化為行階梯形矩陣）時只需先講一個可逆矩陣化為行階梯形矩陣的例題，對比行列式的計算進行說明相似和差異，然后再講一個普通矩陣的例題即可解釋矩陣化為行階梯矩陣的思路和方法；在學習了線性方程組的解和向量組的線性相關性后，可以給出下面幾個例題使同學們更加了解他們之間的關系。

已知A= 1 3 -1 2 1 -5 3 -4 0 2 1 -1-5 1 3 -3，（1）算A；（2）將化為行最簡形矩陣；（3）中的A是否可逆，若可逆，求其逆？（4）將（A，E）化為行最簡形矩陣；（5）求矩陣方程組Ax=B0的解，其中可選任意4×2矩陣；（6）求線性方程組Bx=C的解，其中B= 1 3 -1 2 1 -5 3 -4 0 2 1 -1，C=123；（7）求向量組A0=（B，C）的秩和最大無關組，并把不屬于最大無關組的向量用最大無關組表示；（8）求一可逆矩陣P使得將A化為對角矩陣。

二、理論證明方面

通過以上幾個題目的計算同學們就會發現它們的計算過程大致是一樣的。這樣在很多公式和定理的推導過程中都可以引入方程的思想將問題轉化為方程組有解無解來進行判定，比如一個向量是否能由向量組線性表示的充要條件的證明等。

課堂教學是一方面，在如今課時越來越少的情況下，我們更應該注重第二課堂的培育。①要求學生在完成課后作業的情況下進行適當的預習。②可以建立一個合適的平臺提供一些學校精品課程的視頻。③安排網上答疑和互動。④提供一些與線性代數應用相關的實例的視頻掛在平臺上，比如關于線性變換中旋轉變換和投影變換就可以通過一個小游戲“坦克世界”進行解釋。⑤引入MATLAB。在課堂上引入它講解一些實際例子（如灰度圖像、線性規劃等），可以使學生非常直觀地領會到矩陣在大規模數值運算中的重要作用，同時軟件還可以幫助快速檢驗求逆、特征值等運算結果。這樣的教學模式下，不難幫助學生放下對線性代數課程的畏懼情緒，產生濃厚的興趣。

在課堂時間比較緊的情況下，合理利用課內時間的同時安排適量的課外學習，可以培養學生的自學能力。課堂內外的有機結合才會使得教學效果良好。

參考文獻：

崔慧萍.線性代數課程教學的幾點構想[J].中國科技信息，2006.

編輯 溫雪蓮