利用幾何畫板輔助圖形與幾何教學(xué)舉例

摘 要：新課程強(qiáng)調(diào)“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)”，而“幾何畫板”輔助教學(xué)軟件正好能夠滿足這一點(diǎn)。通過(guò)例題展示了幾何畫板在教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用：利用幾何畫板設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)情境；讓學(xué)生參與發(fā)現(xiàn)過(guò)程；動(dòng)態(tài)準(zhǔn)確地揭示幾何規(guī)律；形象直觀地反映事物之間的聯(lián)系；幾何畫板在概念教學(xué)中的應(yīng)用；利用幾何畫板驗(yàn)證定理結(jié)論。

關(guān)鍵詞：圖形與幾何；幾何畫板；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

“圖形與幾何”的課程內(nèi)容，以發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力為核心展開，主要包括：空間和平面基本圖形的認(rèn)識(shí)，圖形的性質(zhì)、分類和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱，相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；物體和圖形的位置及運(yùn)動(dòng)的描述，用坐標(biāo)描述圖形的位置和運(yùn)動(dòng)。

幾何畫板輔助教學(xué)軟件能準(zhǔn)確地展現(xiàn)幾何圖形，揭示幾何規(guī)律，側(cè)重過(guò)程教學(xué)，動(dòng)態(tài)地再現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與形成。借助于它，能最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性和創(chuàng)造性，能潛移默化地使學(xué)生掌握觀察問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的科學(xué)方法，是數(shù)學(xué)教師的得力助手。

下面結(jié)合圖形與幾何教學(xué)的實(shí)踐談?wù)剮缀萎嫲宓膽?yīng)用。

一、利用幾何畫板設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)情境

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)應(yīng)在與現(xiàn)實(shí)情境相類似的情境中進(jìn)行。因?yàn)樵趯?shí)際情境下進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以使學(xué)習(xí)者利用自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)經(jīng)驗(yàn)，去同化和索引當(dāng)前要學(xué)習(xí)的新知識(shí)，從而獲得對(duì)新知識(shí)的創(chuàng)造性理解。幾何畫板可以幫助我們營(yíng)造一個(gè)良好的數(shù)學(xué)環(huán)境。

例1.兩條直線被第三條直線所截而成的角，即“三線八角”。

這個(gè)幾何問(wèn)題可以利用幾何畫板設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的課件，如圖1所示。

在這種背景下讓學(xué)生去感知，去同化，通過(guò)探索，很自然地將“三線八角”的概念融入腦海里。

二、讓學(xué)生參與發(fā)現(xiàn)過(guò)程

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生在已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上的建構(gòu)活動(dòng)，目的是要建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)及其過(guò)程的表征。這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中，不能脫離學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)體系，只重結(jié)果而偏廢過(guò)程，把結(jié)論機(jī)械地灌輸給學(xué)生。這樣獲取的知識(shí)是不牢靠的，應(yīng)遵循讓學(xué)生觀察理解、探索研究、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)律，讓學(xué)生參與包括探索、發(fā)現(xiàn)在內(nèi)的獲得知識(shí)的全過(guò)程。

例2.探索并證明三角形的內(nèi)角和定理。

利用幾何畫板的度量功能和計(jì)算功能設(shè)計(jì)如圖5的課件，通過(guò)拖動(dòng)三角形頂點(diǎn)改變?nèi)切蔚男螤睿锤淖兏鹘堑亩葦?shù)，但發(fā)現(xiàn)三個(gè)內(nèi)角的和保持180°不變，進(jìn)而借助平行線的性質(zhì)和平角定義證明三角形內(nèi)角和定理（如圖6）。

這個(gè)探索過(guò)程中，會(huì)涉及銳角三角形、直角三角形及鈍角三角形，涵蓋了各種情形，有利于學(xué)生全面認(rèn)識(shí)三角形內(nèi)角和定理的普遍性，避免了通常課堂上讓學(xué)生畫出三角形，剪下來(lái)并度量各個(gè)內(nèi)角時(shí)產(chǎn)生的誤差。

三、動(dòng)態(tài)準(zhǔn)確地揭示幾何規(guī)律

心理學(xué)認(rèn)為，變動(dòng)的事物、圖形容易引起人們的注意，從而在人腦里形成較深刻的印象。使用常規(guī)工具畫圖，具有一定的局限性。使用幾何畫板畫圖，可以動(dòng)態(tài)地展示各對(duì)象之間的關(guān)系。

如二次函數(shù)的應(yīng)用，是教材的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，如何突破這一難點(diǎn)呢？通過(guò)實(shí)例利用幾何畫板制作圖形和圖象的動(dòng)畫，就可以讓學(xué)生觀察圖象的變化過(guò)程，找出規(guī)律，發(fā)現(xiàn)定理。下面演示“蓋大樓”課件的例子。

例3.有一塊三角形的地ABC，AD是BC邊上的高，且BC=60米，AD=40米，要在這塊地上建一座矩形大樓，使它的一邊在BC上，問(wèn)如何選取矩形的邊長(zhǎng)才能使大樓的面積最大？最大面積是多少？

這個(gè)例子可以用二次函數(shù)的極值來(lái)求解，是一個(gè)典型的利用數(shù)形結(jié)合法來(lái)解決的問(wèn)題。利用幾何畫板來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題，可以達(dá)到很好的教學(xué)效果。下面是針對(duì)這個(gè)例子用幾何畫板制作的課件中的幾幅畫面，如圖7和圖8所示。在課件中，我們通過(guò)動(dòng)畫按鈕或拖動(dòng)點(diǎn)E，就可以得到數(shù)形結(jié)合的動(dòng)態(tài)變化效果，較好地揭示了問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律。

四、形象直觀地反映事物之間的聯(lián)系

學(xué)生在觀察、比較中，進(jìn)行了建構(gòu)，獲取了知識(shí)。幾何畫板還能形象直觀地反映事物之間的關(guān)系，便于學(xué)生用聯(lián)系的、整體的觀念把握問(wèn)題。人們通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行心理表征時(shí)，常常要借助于直觀形象，而數(shù)學(xué)的一大特點(diǎn)是抽象性。但抽象不便于理解，這時(shí)借助于幾何畫板可形象生動(dòng)地進(jìn)行直觀教學(xué)。例如，什么叫軌跡，這個(gè)概念相當(dāng)抽象，學(xué)生掌握這一概念非常困難，而制作一個(gè)軌跡動(dòng)畫就很能“說(shuō)”得清楚，使學(xué)生一目了然。

例4.如圖9，P為圓上任意一點(diǎn)，則線段OP中點(diǎn)M的軌跡是什么？

操作過(guò)程：在圓周上構(gòu)造一點(diǎn)P，連接線段OP，構(gòu)造線段OP中點(diǎn)M，選定點(diǎn)P生成動(dòng)畫，同時(shí)追蹤點(diǎn)M的軌跡，如圖9所示，點(diǎn)M的軌跡為一個(gè)圓。

五、幾何畫板在概念教學(xué)中的應(yīng)用

在傳統(tǒng)的條件下，概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中顯得極為困難，學(xué)生對(duì)概念的理解總是似是而非，現(xiàn)在利用幾何畫板就可以使學(xué)生從直觀上來(lái)理解某些概念的內(nèi)涵。

例5.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義。

如圖10所示，分別單擊圓柱、圓錐、圓臺(tái)按鈕，可演示出矩形、三角形、梯形分別繞垂直于底邊的一邊旋轉(zhuǎn)而形成圓柱、圓錐圓臺(tái)的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。如圖10下面圖形所示，是變化過(guò)程中的一個(gè)畫面。利用這樣的課件進(jìn)行教學(xué)，使我們的立體幾何教學(xué)突破傳統(tǒng)教學(xué)手段的束縛，化“靜”為“動(dòng)”，化“難”為“易”。

六、利用幾何畫板驗(yàn)證定理結(jié)論

幾何畫板具有強(qiáng)大的度量和計(jì)算功能，可以用來(lái)驗(yàn)證很多幾何定理的結(jié)論。

例6.驗(yàn)證勾股定理

勾股定理作為直角三角形的一個(gè)性質(zhì)，更能體現(xiàn)幾何圖形與數(shù)量關(guān)系之間的密切結(jié)合。

如圖11所示，拖動(dòng)點(diǎn)A、B、C，可改變直角三角形的形狀和大小，從而驗(yàn)證各種情況下的勾股定理。

CDEA的面積=5.69厘米2

AFGB的面積=6.06厘米2

BHIC的面積=11.74厘米2

CDEA的面積+AFGB的面積=11.74厘米2

幾何畫板的功能還有很多，例如，它還能實(shí)現(xiàn)物理學(xué)科的動(dòng)態(tài)演示，如力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)等等，這里不再一一贅述。

運(yùn)用“幾何畫板”輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，符合當(dāng)今數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢(shì)和新課程改革的需要，為老師教的方式和方法提供了一個(gè)新的視角，為學(xué)生發(fā)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)的重要概念和結(jié)論的本質(zhì)和找尋數(shù)學(xué)的普遍聯(lián)系提供了資源和方法，同時(shí)也為新課標(biāo)倡導(dǎo)的“綜合與實(shí)踐”等課題學(xué)習(xí)提供了素材。

參考文獻(xiàn)：

繆亮，朱俊杰，李捷.幾何畫板輔助數(shù)學(xué)教學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004-08.

編輯 趙飛飛