從一道函數(shù)導(dǎo)數(shù)題淺談數(shù)學(xué)教學(xué)思考

一、問題的由來

筆者注意到2012年合肥市第二次質(zhì)量檢測(cè)試題文科數(shù)學(xué)第21題是一道關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的題，解決時(shí)運(yùn)用了函數(shù)圖象，但是該題函數(shù)圖象并不是每個(gè)考生都能畫出來的。

1.問題再現(xiàn)

設(shè)函數(shù)f（x）=（x2-2x+a+2）ex（x∈R）

（1）若a=-1，求f（x）在[0，2]上的最大值與最小值；

（2）過點(diǎn)（-1，0）作曲線y=f（x）的切線，如果有三條，求a的取值范圍。

2.問題解答

（1）略。

（2）∵f ′（x）=（x2+a）ex，設(shè)切點(diǎn)[x0，（x02-2x0+a+2）ex0]，

切線的斜率為：（x02+a）ex0，

由題意轉(zhuǎn)化為求y=x3+（a+2）x-2=0有三個(gè)零點(diǎn)。

∵0不是y=x3+（a+2）x-2=0的零點(diǎn)，由函數(shù)零點(diǎn)知識(shí)得：

又∵f（-1）=-3

草圖如右圖：

則a+2<-3

故a<-5

二、問題的分析

函數(shù)極限知識(shí)在現(xiàn)行的高中教材中沒有涉及，它是高等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)分析中的知識(shí)，函數(shù)在一點(diǎn)處的ε-δ定義為：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域U0（x0，δ′）內(nèi)有定義，A是一個(gè)確定的數(shù)。若對(duì)任給的正數(shù)ε，總存在某個(gè)正數(shù)δ（<δ′），使得當(dāng)0

則稱f（x）當(dāng)x趨于x0時(shí)極限存在，且以A為極限，

我們知道，一般的，導(dǎo)數(shù)概念學(xué)習(xí)的起點(diǎn)是極限，即從數(shù)列？邛數(shù)列極限？邛函數(shù)極限導(dǎo)數(shù)。這種概念的建立方式具有嚴(yán)密的邏輯性和系統(tǒng)性，但是也產(chǎn)生了一些問題：就高中學(xué)生的認(rèn)知水平而言，他們很難理解極限的形式化定義。由此產(chǎn)生的困難也影響了對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解。因此，教科書沒有介紹任何形式的極限定義及相關(guān)知識(shí)，而是從變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導(dǎo)數(shù)。這樣一來，其一，避免學(xué)生認(rèn)知水平和知識(shí)學(xué)習(xí)間的矛盾；其二，將更多的精力放于導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解上；其三，學(xué)生對(duì)逼近思想有了豐富的直觀基礎(chǔ)和一定的理解，有利于在大學(xué)的初級(jí)階段學(xué)習(xí)嚴(yán)格的極限定義。

三、問題的解決與思考

基于上述分析，因此，教師在組織教學(xué)的時(shí)候，不必追求理論上的嚴(yán)密性和過多的技巧，重點(diǎn)在于理解概念的內(nèi)涵和基本方法。但是，這類問題還是要解決的，否則學(xué)生在解這類題的時(shí)候會(huì)不知所措。信息技術(shù)工具在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的學(xué)習(xí)中有著很大的作用，發(fā)揮的空間很開闊。在平時(shí)的教學(xué)中，我們可以多借助信息技術(shù)工具作這類函數(shù)的圖象，讓學(xué)生體會(huì)和感受當(dāng)x？邛x0時(shí)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)，這樣，學(xué)生再遇到這樣的問題時(shí)，就會(huì)有一些感性的認(rèn)識(shí)，也就能較為準(zhǔn)確地作出函數(shù)的圖象，從而實(shí)現(xiàn)利用數(shù)形結(jié)合解決問題，不至于暈頭轉(zhuǎn)向了。

另外，如果有條件，我們可以在教學(xué)中適時(shí)地使用信息技術(shù)工具，充分發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生更好地理解概念。例如：利用信息技術(shù)的圖形功能，演示割線的動(dòng)態(tài)變化趨勢(shì)，會(huì)對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)非常有幫助；將函數(shù)曲線某一點(diǎn)附近的圖象放大得到一近景圖，學(xué)生就會(huì)看到，圖象放得越大，這段曲線看起來就越像直線，這有助于學(xué)生理解和進(jìn)一步體會(huì)以直代曲的思想方法；當(dāng)n發(fā)生變化時(shí)，信息技術(shù)能有效地顯示出數(shù)值和圖形的變化，讓學(xué)生更好地體會(huì)求曲邊梯形的基本步驟：“分割、近似代替、求和、取極限”，從而感受以直代曲、逼近等思想。

參考文獻(xiàn)：

華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社，1980.

作者簡介：匡大章，男，出生年月：1981年1月，本科，就職于安徽省六安市皖西中學(xué)，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

侯放寬，男，出生年月：1983年3月，本科，就職于安徽省六安市皖西中學(xué)，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教。

編輯 趙飛飛