四邊形中的“余弦定理”

在圓內接四邊形ABCD中，設AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，

由余弦定理得：BD2=d2+a2-2dacosA，

BD2=b2+c2-2bccosC，

∴d2+a2-2dacosA=b2+c2-2bccosC，

又∵四邊形ABCD是圓的內接四邊形，

∴A+C=180°，即C=180°-A，∴cosC=cos（180°-A）=-cosA，

∴d2+a2-2da·cosA=b2+c2+2bc·cosA，

即2（da+bc）cosA=d2+a2-b2-c2，

例.已知圓的內接四邊形ABCD中，AB=2，BC=6，CD=DA=4，求這個四邊形的面積.

解法一：如圖2，∵圓的內接四邊形ABCD中，AB=2，BC=6，CD=DA=4，

即A=120°，同理C=60°.

評析：本解利用四邊形中的“余弦定理公式”先求出角A和角C，再由三角形面積公式求解.

解法二：如圖3所示，連接BD，則四邊形ABCD的面積：

∵A+C=180°，∴ sinA=sinC，

又由余弦定理知：在△ABC中，

BD2=22+42-2×2×4cosA=20-16cosa，

同理在△CDB中，BD2=52-48cosC，

則有20-16cosA=52-48cosC

評析：本解利用BD作為橋梁，利用余弦定理求出角A的余弦值，再結合三角形的面積公式求出圓內接四邊形的面積.

編輯 趙飛飛