初中數學學習中常見錯誤分析

摘 要：在數學學習中，正確與錯誤往往交織到一起，只有正確對待、認真分析、有效控制錯誤，減少出錯頻率，才能使學習活動順利進行，數學素養得到提高。

關鍵詞：初中數學學習；常見錯誤分析；糾正

初中數學學習中，培養學生的數學素養主要是提高學生觀察、分析、比較、抽象和概括能力，并能夠運用歸納、演繹和類比的方法進行推理。學生能否順利解題，關鍵在分析問題，提取應用相關知識的環節上是否受到干擾或克服了干擾。事實上，在學習活動中，錯誤與正確往往交織在一起。《義務教育數學課程標準》明確要求，教師“要耐心地引導學生分析錯誤產生的原因并鼓勵他們自己去改正，從而增強學習數學的興趣和信心”。因此，對錯誤進行系統的分析是非常重要的。

一、概念、運算規則中常見的錯誤

進入初中后，知識本身對學生的要求大幅提高，而學生之間在智力發展與學習方法上存在著差異，學習過程中，容易產生重解題輕概念的不良傾向。對概念的內涵和外延常常掌握不準確，對定義理解不透。

1.概念理解片面、機械

2.對概念的定義掌握不確切

例3.已知1，如圖，△ABC是⊙O的內接等腰三角形，頂角∠A=36°，弦BD、CE分別平分∠ABC，∠ACB。求證：五邊形AEBCD是正五邊形。

證明：由于△ABC是⊙O的內接等腰三角形，頂角∠A=36°，得∠ABC=∠ACB=72°，再由同圓中同弧所對的圓周角相等和角平分線的性質易知：∠EAD=∠ADC=∠DCB=∠CBE=∠BEA=108°，所以五邊形AEBCD是正五邊形。

上述答案錯在哪兒呢？顯然是對概念的定義掌握不確切。正多邊形的定義為各邊相等、各角相等的多邊形。上述的證明忽視了還要各邊相等才構成正多邊形這一與各角相等同等重要的條件。對于容易混淆的概念，要引導學生用對比的方法，弄清它們的區別和聯系。課內條件允許的話，可給學生展示揭示錯誤、排除錯誤的手段，使學生會識別錯誤、糾正錯誤。

3.混淆概念，偷換結論

例4.如圖2，矩形ABCD的邊AB=5cm，AD=8cm，分別以直線AB、AD為軸旋轉一周得到了高矮不同的兩個圓柱，問哪個表面積大？

解：以AB為軸旋轉時：S1=2π×8×5=80πcm2

以AD為軸旋轉時：S2=2π×5×8=80πcm2

∵S1=S2，∴兩個圓柱的表面積一樣大。

例5.如圖3，已知ABCD是一張矩形紙片，AB=6，BC=8，把△BCD沿折痕BD向上翻折，求重合部分面積？

例4解答中把側面積的計算當成表面積問題，解答例5時，不少同學把被翻折起來的直角△BCD理解為重合部分的面積，明顯混淆了概念，犯了偷換結論的錯誤。其實，學生在數學學習過程中所產生的種種錯誤嘗試，它只反映學生在數學學習的某個階段的水平，而不代表其最終的實際水平。正是由于這些錯誤的不斷產生與修正，才使學生的數學學習能力不斷提高。

二、違反推理規則產生的錯誤

進入初中數學學習，要開始接觸數學命題的論證推理。推理論證中，形式邏輯的基本規律和具體規則是必須遵循的，違反這些規則的論證顯然是錯誤的。

1.論證中以特殊情形代替一般情形

例6.試證：圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

上述證明沒有錯，但不完整。因為沒有討論圓周角位置的所有情況，因而論證不充分。這類錯誤在幾何證明中經常出現，學生把圖形畫成特殊情形，從特殊情形的條件出發來證明一般的結論，犯了以偏概全的錯誤。

2.循環論證產生的錯誤

結論的真實性是用題設來證明的，如果結論的真實性又用結論來證明，這就是循環論證的錯誤。其形式大致可歸納為兩種類型：

（1）證明時隱蔽著以待證的結論作論據

例7.試證：兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等，兩直線平行。

證明：如圖5，直線a，b被直線c所截，因為∠1=∠2，所以a//b。

這是學生論證類似命題時經常出現的錯誤，用所要證明的結論當作論據來證明結論。這是明顯的循環論證錯誤。但我們也不必一籌莫展，事實上，錯誤是正確的先導、成功的開始。學生所犯錯誤及其對錯誤的認識，是學生獲得和鞏固知識的重要途徑。因為數學學習實際上是不斷地修正錯誤、掌握真知的過程。

（2）論證中所引論據是在本結論得證后才能證明的論斷

例8.證明勾股定理。

證明：如圖6，利用三角函數得，a=csinA，b=ccosA

所以a2+b2=c2（sin2A+cos2A）=c2。

論證中利用了sin2A+cos2A=1作論據，而這個公式本身是由勾股定理推出來的，為循環論證，故是錯誤的。學生的認知是經歷從無到有、由表及里、由量變到質變的過程。學習活動中，認真分析學生學習中的問題，歸納出典型錯誤，加以總結，再進行適當的復習與練習，使學生再經歷一次嘗試與修正的過程，增強識別、改正錯誤的能力。其間正確與錯誤交織，正確對待錯誤、認真分析、有效控制，就能使學習活動順利進行，觀察問題、分析問題和解決問題的能力得到逐漸提高。

3.論據不真實

討論中引用的論據不真實，不能證明結論的真實性，這種錯誤叫做虛假論證。

例9.如圖7，已知AD為∠BAC的平分線，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，求證：△ABD≌△ACD。

證明：∵AD為角平分線，∴∠BAD=∠CAD。

∵BD=CD，AD為公共邊，∴△ABD≌△ACD。

顯然，論據“SSA”是假命題，是不能用作論據的，故此是虛假論證。因此備課時，要仔細研究教科書正文中的關鍵字眼、例題后的注意、小結與復習中應該注意的幾個問題等，同時還要揣摩學生學習本內容的心理過程，對學生容易出錯之處備好預案，防患于未然。如果學生出現問題而未察覺，錯誤沒有得到及時的糾正，則貽患無窮，不僅影響當時的學習，還會影響以后的發展。因此，預見錯誤并有效防范能夠為揭示錯誤、降低錯誤頻率打下基礎。

在學生認知過程中，錯誤是不可或缺的，它不但從特定的角度揭示了學生認識、掌握知識過程中出現的問題，也為教師的授課糾錯提供了切入點?！读x務教育數學課程標準》還指出，教師應“記錄與分析學習中的常見典型錯誤，及時查漏補缺、改進教學”。這些都要求教師在初中數學教學中善待“數學錯誤”，盡量做到課前準備有預見、課內講解有針對、課后講評有總結，耐心尋找學生解題錯誤的原因，及時地糾正、轉化，并予以診斷和治療。在正確與錯誤交織中，培養他們正確對待錯誤、認真分析原由、有效控制并減少出錯頻率的數學綜合素養，使數學學習活動順利進行。

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編輯 趙飛飛