淺議三角形解的個數

學了正、余弦定理后，不少同學為判斷三角形的解的個數而煩惱，當三角形中已知兩邊和其中一邊的對角（銳角）時，可能出現一解、二解、無解等情況，雖然書上也有相應的方法，可是一些同學依舊茫然。下面通過自己的教學經驗，從幾何和代數兩個方面來闡述下三角形解的個數問題，希望能幫助同學們順利破解。

一、幾何法

為了學生更好地掌握這個題型：在△ABC中，已知∠A（銳角），b，c，問三角形解的個數。特別強調了角的對高，對邊，鄰邊三個名詞。如圖（∠A）對高：CD（bsinA），對邊：BC（a），鄰邊：AC（b）。以C點為圓心，a為半徑（a的值從小到大）畫弧，分別與線段AB出現無交點，一個交點，兩個交點，一個交點的情況。

例1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，且a=λ，b= λ（λ>0），A=45°，則滿足此條件的三角形個數是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.無數個

解：bsinA= λsin45°= λ>λ=a，（λ>0），無解。答案：A

練習1：在△ABC中，已知a=20，b=40，∠A=60°，則此三角形的解為（ ）

A.有一解 B.有兩解 C.無解 D.解的個數不確定

二、代數法

1.在正弦定理中用三角函數值的有界性和大角對大邊

在已知△ABC中的邊長a，b和∠A，且已知a，b的大小關系，常利用正弦定理求解，先利用三角函數的有界性來判斷，再結合“大邊對大角”來判斷三角形解的個數，一般的做法如下，首先利用大邊對大角，判斷出∠B與∠A的大小關系，然后求出∠B的值。

上例：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，且a=λ，b= λ（λ>0），∠A=45°，則滿足此條件的三角形個數是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.無數個

另解：直接根據正弦定理可得 = ，可得sinB= = = >1，沒有意義，故滿足條件的三角形的個數為0。答案：A

例2.在△ABC中，已知a= ，b= ，B=45°，求∠A、∠C及c。

解：由正弦定理，得

sinA= = =

因為∠B=45°<90°，b

當∠A=60°時，∠C=75°，a>b ∠A>∠B sinA>sinB

c= = = ；

當∠A=120°時，∠C=15°，

c= = = 。

點評：在三角形中，這是個隱含條件，在使用時我們要注意挖掘。

2.在余弦定理中用二次方程的正根個數

一般的，在△ABC中，已知a，b和∠A，常常可對∠A應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0，若該方程無解或只有負數解，則該三角形無解；若方程有一個正數解，則該三角形有一解；若方程有兩個不等的正數解，則該三角形有兩解。

例3.在△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，求BC的長。

解：由余弦定理得49=25+BC2-10BCcos120°，整理得：BC2+5BC-24=0，解得，BC=3

點評：已知三角形兩邊和其中一邊的對角，我們可以采用正弦定理或余弦定理求解，從上述例子可以看出，利用余弦定理結合二次方程來判斷顯得更加簡捷。

補充練習：

（1）在△ABC中，已知a=80，b=100，∠A=45°，試判斷此三角形的解的情況。

（2）在△ABC中，若a=1，C=12，∠C=40°，則符合題意的b的值有_____個。

（3）在△ABC中，a=x cm，b=2 cm，∠B=45°，如果該三角形有兩解，求x的取值范圍。

（答案：（1）有兩解；（2）0；（3）2

編輯 楊兆東