數列二輪復習建議

高三數學二輪專題復習是由“量的積累”到“質的飛躍”的過程，是進一步完善學生的立體知識網絡結構，全面提升能力的關鍵時期，研究近幾年我省試題發現數列考查難度有所下降，但近幾年全國各地高考有關數列問題難度有所上升。如何搞好數列專題復習有幾點不成熟的想法與大家探討一下。

一、數列復習計劃

1.課時劃分

2.復習內容

（1）等差數列、等比數列的基礎知識（定義、通項公式、前n項和公式）及能轉化成等差數列、等比數列的遞推數列的通項公式。

（2）等比數列、等差數列與其他知識點的綜合運用，能在具體的問題情境中，識別數列的等差關系或等比關系，并能用相關知識解決相應的問題。

（3）數列蘊含著豐富的數學思想，包括函數與方程、轉化與化歸、分類討論等重要思想以及配方法、換元法、待定系數法，整體代換等基本數學方法。

二、一輪復習中存在的問題

1.忽視數列中n的取值范圍導致數列的單調性與函數的單調性混淆

2.已知數列的前n項和求an時，忽視n=1的情況直接用Sn-Sn-1表示an，應注意an、Sn的關系是分段的

3.易忽視等比數列的性質，導致增解、漏解現象。如忽視等比數列的奇數項或偶數項符號相同而造成增解；在等比數列的求和問題中忽視公比為1的情況導致漏解

三、加強研究，明確方向

1.加強兩綱一題的研究，把握數列復習的重點

數列是一種特殊的函數，是初等數學與高等數學的一個重要銜接點，在高中教材中既具有獨特性，又具有較強的綜合性。近幾年高考考查的重點是等差與等比數列的定義，通項求和及其性質的綜合應用等，主要考查等差、等比數列的性質及利用方程思想求a1、Sn、q、d、Sn、n、an等一些基本元素。

2.加強信息研究，準確把握高考動向

（1）數列常與其他知識綜合進行考查。主要命題點為，數列概念的創新定義性問題、數列的最大最小項問題、數列的通項公式或遞推公式、數列的前n項和、Sn與an的關系等，而求數列的通項公式，研究數列的單調性、周期性和數列的遞推關系式的應用是命題的熱點，數列的前n項和、Sn與an的關系是高考命題的重點，往往滲透在數列的解答題中。

（2）數列的求和在數列問題中占有重要的位置，也是考綱明確要求掌握的內容，每年高考都會考查。對數列的求和問題，主要是轉化為等差數列或等比數列的求和問題，對非等差數列、等比數列的求和，常用的方法有：拆項分組、裂項相消、倒序相加、錯位相減等，合理構建方法是成功解題的關鍵。

（3）數列與其他數學知識的交匯題一直是高考的熱點，由于數列既具有函數的特征又能構成獨特的遞推關系，這使得它與函數、方程、不等式、三角、解析幾何知識有著密切的聯系。因此，數列的綜合題呈現出綜合性強、立意新、角度活、難度大的特點。

四、基本題型與及解題策略

基本題型一：運用基本思想解決等差比數列求通項求和問題

例1.（1）（2011年遼理17）已知等差數列an滿足a2=0，a6+a8=-10。①求數列an的通項公式，②求數列 前n項和。

說明：這是一道典型的運用基本思想求數列和的問題。根據a2=0，a6+a8=-10可以列出關于a1，d兩個二元一次方程，通過加減消元或代入消元法求解a1和d值；同時注意到數列項下標特征，依據等差數列的性質，a6+a8=2a7=-10求a7=-5，從而d= （a7-a2）=-1，從而可求出①和②。

例2.（2010全國理4）已知各項均為正數的等比數列an中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，則，a4a5a6=

說明：表面看這是一道可以用基本量思想解決的問題，但在實際操作過程中發現使用基本量列出方程組計算量較大，要得到結果還需借助指數冪的運算性質，易出錯。如果仔細觀察已知條件與所求結論關系，不難發現，a24=a1a7，a25=a2a8，a26=a3a9，運用等比數列性質可以很快得到，a4a5a6=5 ，選擇恰當方法有時可以大大簡化我們的計算，為考試贏得寶貴時間，而恰當方法的選擇，對依賴于我們認真審題和對知識的融會貫通。

例3.（2012江蘇）設各項均為正數數列an的前n項和Sn。

已知2a2=a1+a3，數列 是公差為d的等差數列。①求數列an的通項公式（用n·d表示）②略

基本策略：等差（比）數列是兩類最基本的數列，它們的通項公式，前n項和公式中均含有兩個基本量，因此通過基本思想求解等差（比）數列通項和前n項和是高考考查重點，也是熱點，在運用時應注意以下幾點：

基本題型二：與遞推有關的數列問題

例4.（2011四川）數列an首項為3，bn等差數列且bn=an+1-an（n∈N+），若b3=2，b10=12，則a8=

說明：由已知得bn=2n-8，an+1-an=2n-8，可由疊加法求an。

一般的：使用累加法求通項遞推形式為an+1-an=f（n），使用累乘法求通項遞推公式為 =f（n）。

例5.（2010江蘇）函數y=x2（x>0）圖象在點（ak，a2k）處切線與x軸交點橫坐標為ak+1，k為整數a2=16，則a1+a2+a5。

說明：此題不難，但題目較長，等差還是等比要通過層層運算才能確定，需要學生有較好的運算能力，平時教學中告誡學生，靜下心來認真運算，哪怕慢一點，也要確保正確。

基本策略：一般數列求和問題大多以遞推公式為背景，通過常見公式累加（乘）構造等方法對遞推公式變形，最終轉化為我們熟知等差（比）數列定義進行求解。最終目的還是將未知的數列轉化為我們已知數列求解。公式an=S1 n=1Sn-Sn-1 n≥2要求每個學生都掌握并會運用，其他類型遞推，根據我省要求及歷年考查問題，一般要求不高，復習時建議不同層次學生依據特點進行復習。

基本題型三：數列綜合問題（不等式方程等知識綜合）

例6.數列an是等比數列，a1=8，設bn=log2an（n∈N+）如數列bn前7項和s7是它的前n項和組成的數列sn最大值，且s7≠s8，求an的公比q取值范圍。

說明：這是一道較為簡單的數列與函數不等式結合問題。

解：因為an為等比數列，設公比q，由a1=8，an=8·qn-1，bn=（n-1）log2q+3，

∴bn以首項為3，公差為log2q的公差數列，由s7最大，s7≠s8，∴s6≤s7>s8，∴s6≤s6+b7>s6+b7+b8，∴0≤b7且b8<0，∴3+6log2q3+7log2q，

∴- ≤log2q≤- ， ≤q≤ 。

從解題過程可以看出此題運用對數運算性質，簡單對數不等式解法數列在題中為載體，僅用基本等差（比）通項知識。

例7.設1≤a1≤a2≤…≤a7，其中a1、a3、a5、a7成公比為q的等比數列，a2、a4、a6成公差1的等差數列，則q最小值。

說明：有等差有等比，基本量在哪兒，注意到已知d=1，所以a2為等差基本量。先用基本量表示已知條件1≤a1≤a2≤a1q≤a2+1≤a1q2≤a2+2≤a1q3，在注意到結論求q最小值，所以a2+1，a2+2應盡可能小，故a2=a1=1，可得1≤q≤2≤q2≤3≤q3。∴qm-n= 。這是一道與不等式結合問題。

基本策略：數列與函數，不等式是高中數學重要內容，一些常見的解題技巧和思想方法在數列與函數不等式的綜合問題中得到了充分的體現，以知識交匯為主干，構筑成知識網絡型代數推理題，高考中難度大，學生遇到此類問題一般是有為難情緒的。因此，建議復習時從難度低的問題入手，讓學生找到解決此類問題的基本途徑。

？誗編輯 楊兆東