巧用相似三角形解物理力學中的動態平衡問題

物體在三個不平行力的作用下的動態平衡問題，主要有兩類：第一類是一個力大小和方向確定，另一個力的方向確定，大小可變，第三個力大小和方向均變化。此類問題用力的矢量三角形方法，能很方便地進行分析和求解。第二類是一個力大小和方向確定，另兩個力方向都發生變化，大小變化無法直接判斷。對于第二類問題用力的矢量三角形法和解析法求解時過程繁瑣，難度也較大，而且學生難以理解和掌握，但若用三角形的相似性原理與之協調結合的話，解此類問題就會顯得思路清晰和過程簡單，學生極易掌握。下面通過示例說明：

【例題1】：一輕質硬棒通過光滑鉸鏈與豎直墻壁相連，硬棒的一端C下掛一質量為m的物體，同時用一根通過光滑定滑輪的繩子拉著，使硬棒處于平衡狀態，如圖，當通過繩子把硬棒緩慢地拉起的過程中，對繩子所受的拉力T和硬棒對鉸鏈的壓力N變化的描述正確的是（ ）

A.N變大，T變小 B.N變小，T變大

C.N變小，T先變小后變大 D.N不變，T變小

圖1 圖2 圖3

【分析與解】選取C點為研究對象，C點受到繩子CD的拉力為G，繩子CA的拉力T和硬棒的支持力N，如圖2所示，在繩子把硬棒緩慢往上拉的過程中，C點可視為一直處于平衡狀態（即動態平衡），把C點所受的三個力畫成力的矢量三角形，如圖3所示，可以求證△ABC∽△GNT，且在硬棒被上拉的過程中始終相似，所以有： = = 由于AB和BC的長度不變，G不變，所以N不變，由于AC變短，故T變小，所以選（D）。

【例題2】如圖4所示，輕繩的A端穿過在天花板上的小孔，C端系一重為G的小球，小球在繩子拉力T的作用下，靜止在固定的光滑大球表面上，天花板上的小孔與大球的球心剛好在同一豎直線上，當繩子緩慢地把小球往上拉的過程中，對拉力T和大球對小球的支持力N變化的說法正確的是（ ）

A.N變大，T變小 B.N變小，T變大

C.N變小，T先變小后變大 D.N不變，T變小

【分析與解】選取小球為研究對象，小球重力G，繩子的拉力為T和大球的支持力N，如圖5所示，在繩子把小球緩慢往上拉的過程中，小球可視為一直處于平衡狀態（即動態平衡），把小球所受的三個力畫成力的矢量三角形，如圖6所示，可以求證△ABC∽△GNT，且小球在硬被上拉的過程中始終相似，所以有： = = 。由于AC長度不變，BC始終是大球的半徑，也不變，所以N不變，由于AC變短，故T變小，所以選（D）。

【例題3】如圖7所示，一個重為G的小球套在豎直放置的半徑為R的光滑圓環上，一個勁度系數為k，自然長度為L（L<2R）的輕質彈簧，其一端與小球相連，另一端在大環的最高點。平衡后小球處于靜止狀態，如圖，假設彈簧的勁度系數k逐漸增大，小球B將緩慢上移，試分析小球在緩慢上移過程中，彈簧的拉力T和大環的支持力N將如何變化？

【分析與解】選取小球為研究對象，由于圓環光滑，小球受到重力G、彈簧的拉力T和大環的支持力N。由于小球處于平衡狀態，所以G、N、T構成一個封閉的力的矢量三角形，如圖9所示，依據數學知識可以看出：三角形AOB跟三角形TNG相似。即：△AOB∽△GNT，根據相似三角形對應邊成比例可得： = =

因為AO=OB，所以N=G，故N不發生變化；在小球緩慢上移過程中，BA變短，所以T減小。

本題學生很容易失誤的地方是：當k增大時，直接就判斷出T也增大.

【例題4】如圖10所示。兩個帶電小球A和B都帶同種電荷，質量都是m，A固定，B用絲線懸掛在A的正上方。達到平衡時，A、B的位置如圖所示，當A、B的帶電量緩慢增大時，試分析兩小球間的庫侖力F和繩子的拉力T如何變化？

【分析與解】取B球為研究對象，B球重力G，繩子的拉力為T和A球對它的庫侖力F，如圖11所示，當A、B球的帶電量緩慢增大的過程中，AB球的間距緩慢增大，B球處于動態平衡，把B球所受的三個力畫成力的矢量三角形，如圖12所示，可以求證△ABO∽△GFT，且始終相似，所以有： = = ，由于G、OA和OB不變，所以繩子對B球的拉力T不變；AB增大，A、B球間的庫侖力增大。

綜合上述，當遇到物體受到三個力的作用而處于動態平衡的問題時，若一個力的大小和方向確定，另外兩個方向都發生變化，求這兩個力的大小如何變化時，利用其幾何三角形和力的矢量三角形相似的規律，討論起來思路清晰、過程簡單，非常方便。

編輯 楊兆東