淺談數學模型審美的特征

數學模型的建立和求解與數學學習是相依相存的，數學模型主要是參照某些事物系統的純關系結構，運用數學語言，總結性地或近似地表述出這種數學結構。從廣義上講，數學模型包括數學中的各種概念、公式和各種理論。因為它們都是由現實世界的原型抽象模擬出來的，從這個意義上講，整個數學也可以看成是一門關于數學模型的科學。從狹義上講，數學模型只指那些反映了特定問題或特定的具體事物系統的數學關系結構，這個意義上也可理解為聯系一個系統中各變量間的關系的數學表達。

數學的價值就是體現在它為社會發展和人類文明進步提供智力支持以及解決現實世界中工程技術中的許多疑難問題。在解決問題的過程中需要用到數學模型，推廣而言，可以說所有的數學問題解決必須依靠特定的模型，只不過使用的目的、范圍和方式各異而已。一般來說，只要有模型的建立，就有深刻的數學思想方法和精確、直觀的結論。在模型建立、求解的這一過程中，筆者通過實際教學經驗和相關資料將數學審美的特征，概括為以下兩個方面：

一、教學內容美

科學知識是集真與美一體的藝術。首先教師要從教材中感受到美，提煉出美，再根據數學教材內容提示的哲理，歸納出知識的規律性以及它們的應用價值，就可使學生得到滿足感。在數學教學設計中，教師一定要認真鉆研教材，挖掘出教材中美的方面，講課過程中體現出教學的內容美，使學生的思維活動和情緒同教師的講課融合在一起。

1.簡單明快美

英國科學家牛頓贊嘆：“幾何學之所以堪稱輝煌，在于它從很少的幾條公理出發，而最終卻得到如此之多的結果。”可見數學理論的過人之處就在于用最簡單的方式揭示現實世界中的量及其關系的規律。數學模型的簡單美不僅表現在數學符號和其他符號上，還表現在命題的表述、論證上和它的邏輯體系上。簡潔、有效、實用給人以美感。例如：學習了科學計數法以后，學生就不愿意把光速寫成約300000000米每秒，而是計作：3×108；在單位換算時35納米等于多少米？學生不愿寫成0.0000000035米，而是用科學計數法寫成：3.5×10-8。用文字語言將一個數學結論表達清楚很不容易，比如說，扇形的面積公式S=nπr2/360可以用文字表述為：圓心角乘以圓周率再乘以圓半徑的平方的積再除以360，可見用數學公式就可以簡單表達，讓人感覺起來簡單明快清晰。

2.對稱嚴謹美

對稱是指組成某一事物或對象的兩個部分的對等性。“數學在其內容和方法上一般具有對稱美”。“對稱”在藝術、自然界、科學上的例子屢見不鮮，對“對稱”產生美感是人們普遍的心理傾向。西方美學史上最早探討美的本質的畢達哥拉斯學派認為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形。圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心，圓也是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸。

對稱美的形式很多，在數學模型求解方面，利用對稱方法往往使問題的解決更加簡潔明快。例如在中小學數學的過渡銜接過程中，為了提高數學的趣味性，給學生講高斯速算，計算1+2+3+…+100的和，利用數學對稱美來解決這道題，不僅有數學美的教育，進一步大大提高了起始年級學生學習數學的興趣。

解：1+2+3+…+100

=1+2+3+4+…+96+97+98+99+100

=（1+99）+（2+98）+（3+97）+（4+96）+…+（49+51）+50+100

=100×49+50+100

=5050

3.和諧統一美

和諧是數學美的最高境界。數學無論在內容與形式上都表現出統一和諧美，通過它對學生進行陶冶，有助于形成和諧的品質。數學的統一美是指部分與部分、部分與整體之間的和諧、協調。古希臘數學家畢達哥拉斯有一句至理名言：“凡是美的東西都具有共同的特性，這就是部分與部分、部分與整體之間的和諧性”。例如：在學習人教版七年級上冊的第一章“有理數”時利用絕對值比較兩個負數的大小與利用數軸比較任意兩個數的大小是和諧統一的，學生會得到和諧美的享受；學習人教版七年級上冊的第二章“整式的加減”時，去括號和添括號對立統一，也表現出數學的和諧美。

4.奇異獨特美

就如弗蘭西斯·培根說：“美在于獨特而令人驚異，奇異與和諧是對立的統一。”從某種意義上，世界的統一性與多樣性便是數學中和諧性與奇異性，對于涌現出的許多奇異對象，不但打破了舊的統一性，而且又為更高層次上建立新的統一奠定了基礎。

例如：求（999999999×999999999）÷（1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1）

此算式整齊、勻稱、和諧、平衡、給人以美的享受，使人感興趣，不難知道分母得9×9，于是分子分母約分得：

111111111×111111111=12345678987654321

此答案仍具有整齊、勻稱、和諧、平衡等特點，使人感到奇異。

二、教學結構美

在教學過程中，美主要體現在教師與學生之間進行教學活動中表現出的豐富的創造性、完整性、有序性和節奏性等，它能夠使課堂變得活潑、輕松而又形象生動，展現出一種良好的課堂氣氛。課標、課程、學校、環境、教材和儀器設備都是相同的。但在不同的教室或者是在同等文化水平的教室中，講授和使用所取得的教學效果卻有很大不同，而教學藝術的講究就是其原因所在。如果教師能夠科學地進行教學，注重藝術性教學，更能靈活的運用教學的藝術技巧，在課堂上善于想象假設情境，對學生誘導給予啟發，適時點撥，便會起到傳授知識、發展智力與培養學生能力的目的。目標鮮明、重點突出、層次分明、結構完整就是教學結構美的重要標志。而如果要使師生共同體會到這種美的存在，就要將教學內容、方法、手段和形式等各要素有機的聯系到一起，這能體現出學生的主體地位，使學生自己去實現對“真”的領悟和對“美”的追求，與此同時，教學效率也取得了較好的效果。

課堂氣氛美便要求師生能和諧相處，情感交融，并且在課堂突發事件或學生違紀行為上處理得當，這樣才能使課堂紀律得到維持，教學質量得到提高。

編輯 李建軍