淺談高中數學例題的變式教學

摘 要：在經濟科技迅猛發展的推動下，學生各階段所要掌握的知識更加復雜多樣，教師在課堂的有限時間內要向學生傳授的信息量明顯增多。為了使課堂教學不會轉變成大量知識的反復疊加，致使學生找不到學習的方向，在教育方式上引進了變式教學，從變式教學自身的特性和高中數學的特點著手，分析高中數學例題變式教學的作用。

關鍵詞：變式教學；應用模式；舉例分析

變式教學是在傳統的教學模式被經濟、科技快速發展強烈沖擊的情況下產生的，它存在的目的就是使教師在有限的課堂時間內更好地對知識進行講解，而學生也能在課堂上完成對新知識的有效掌握，減少在課余時間的學習負擔。

一、變式教學

1.變式教學的概念界定分析

變式教育在現階段被廣泛應用于數學課程的講授過程之中，即教師通過有目的地對例題條件、結論中非本質內容的合理更改，使學生多方位掌握新知識，甚至達到一道例題能夠得出多項新知識的效果。這樣既可以高效完成教學任務，實現教學目標，又可以使學生所接觸的新知識以網絡結構呈現在學生面前，有利于學生系統掌握課堂知識而不是細小零碎知識的疊加。變式教學的順利實現不僅減少了教師在課堂上的教學任務，使教學模式變得清晰化，而且也有利于學生在課堂上對新知識的掌握，減少了課后自行對新知識系統化的負擔。

2.變式教學的作用

通過對變式教育的概念分析，我們可以發現變式教學是通過對一道例題的適當改變達到一題多解、一題多用的效果，這樣多變式的教學模式不僅可以調動學生的學習興趣，促進學生主動學習，而且在教師改變例題條件或結論的過程中，學生也會發現問題、提出問題并嘗試性地自我解決問題，在這個過程中貫穿著對學生創新意識的培養。另外，變式教學提倡只對例題的條件、結論進行合理化的改變而不是改變例題的本質，這就有利于學生在解決問題的過程中能夠多角度對例題的本質進行分析、理解，加強對問題的認識，在不刻意安排的情況下培養學生透過現象看本質的思維模式。

二、變式教育在高中數學例題上的應用模式

1.對數學例題內容和形式的變式

在高中數學課程中有一些例題是可以通過對原有條件進行不同角度的更改得到其在本節課甚至整本教材中所涉及其內涵的全部結論。教師應該注重對這種有變式潛力的例題的應用，一道例題的頻繁出現不僅減少了學生的陌生感，也有利于學生將一段時間所學知識自主地連成知識網絡以方便學習。例如，教師在講述“拋物線及其標準方程”后，經常會選取類似這樣的習題為例題上練習課，例題為：直線y=x-2與曲線y2=2x相交于A，B兩點，求證：OA⊥OB （其中O為坐標原點）。教師可采用這道例題為基礎，改變例題的條件或結論，進行下列的一些變式：

變式一：若直線y=kx+b和拋物線y2=2px（p>0）相交于A，B兩點，直線AB過（2p，0），求證：OA⊥OB（其中O為坐標原點）。

變式二：若直線y=kx+b和拋物線y2=2px（p>0）相交于A，B兩點，OA⊥OB，O為坐標原點，求證：直線y=kx+b過定點，并求出定點的坐標。

變式三：若拋物線y2=2px（p>0），以AB為直徑的圓過O點（其中O為坐標原點），求證：直線AB過定點，并求出定點的坐標。

變式四：如圖，拋物線y=- x2上有兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），且 · =0，又 =（0，-2），求證： ∥ 。

變式五：（2012年福建高考文科卷21題）如圖，等邊三角形OAB的邊長為8 ，且其三個頂點均在拋物線E：x2=2py（p>0）上。

（I）求拋物線E的方程；

（II）設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y=-1相交于點Q，證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點。

2.對實際內容的背景進行變式

不改變問題的實質而創造不同的應用背景，通過對問題實質在不同背景下的應用，可以使學生從不同的角度抓住問題的實質，對有總結意義的知識更系統地把握。數學知識具有其本身的嚴肅性，其本質上的內容是不容隨意更改的，教師通過對其實質應用背景進行改變，即可對其本質進行不同層次的呈現，在學習的過程中，學生反復透過現象看本質才能對其本質有更清楚的認識。例如，人教版教材必修1第71頁中對數函數例7原題為求函數y=logax2的定義域。可以變式為：

變式一：求函數y=logax2的定義域和單調區間。

變式二：求函數y=logax2的定義域和判斷其奇偶性。

變式三：求函數y=logax2的定義域和值域。

3.對問題的難易程度進行變式

引導學生由淺入深地對知識進行掌握是我國教育理念的彰顯，把變式教育引入教學過程中同樣應該遵守。在對同一道數學例題進行更改的過程中可以將原有復雜理論通過幾個簡單理論來引導，使學生在逐步變幻的例題中逐漸接受新的較難的結論，既不打擊學生的學習興趣，也使學生能夠掌握難度較大的新知識，同樣是變式教育在高中數學中常用的有效教學方法。例如，在人教版必修1“指數函數的概念”教學時，可以這樣變式教學：

（1）有一張紙，把它撕成兩半，重疊后再撕一次，重疊后再撕一次……那么撕5次后把所有的紙重疊放置有多少層？10次呢？15次呢？

（2）有一張1毫米的紙，把它撕15次后將所有的紙重疊放置有多高？會不會比你高？若20次呢？

（3）你能否建立紙的張數y和撕紙的次數x的函數關系式呢？

三、對高中數學例題采用變式教育的意義

1.培養學生發現問題、解決問題的能力

我國傳統的高中數學教育就是通過教師對一道相對經典的例子進行詳細準確的講解，使學生對重要的知識理論和程序化的解題步驟有一定的了解，再通過大量相似類型習題的應用逐步對新知識進行消化。而現代引入變式教學理念的高中數學例題是可多樣化變換的，學生根據老師不同角度的變換在課堂上就可以對其實質問題有多層次的理解，這樣大大減少了學生課余時間的學習負擔。而且學生根據老師的變換也可以隨時發現問題、解決問題，在遇到困難的時候嘗試多角度分析，掌握應用知識的技能遠遠比單純的掌握知識更重要。例如，人教版教材必修1第21頁例5原題為：畫出函數y=│x│的圖象。可以采取下列的變式：

變式一：畫出函數y=│x2-2x-3│的圖象。

變式二：畫出函數y=x2-2│x│-3的圖象。

變式三：求函數y=x2-2│x│-3的單調區間，奇偶性，值域。

2.有利于高中數學教育目標的實現

高中數學所涉及的知識在橫向的寬度和縱向的深度上都比較廣，這就決定教師在每節課上需要向學生傳遞的信息量都比較大，而有效的課節是有限的，所以如果不能采用好的教學辦法，高中數學的教學目標是沒有辦法順利實現的。變式教育是通過對一道例題的適當改變而達到一題多用的目的，這將大大縮短教師在講解過程中反復引入不同例題所用的時間，學生對原有例題已經有了一定程度的理解，所以在新問題出現的時候不用再對題干等進行反復的審讀，這也大大節省了一部分時間。減少課堂中無用時間的浪費是提高高中數學授課效率的有效辦法，這在無形之中延長了教師對知識的講授時間，也能讓學生更清楚地知道教師每道例題所突出的重點，使教學目標更有可能順利地完成。

例如，人教版教材必修2第69頁原題為：如圖1，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點，求證：平面PAC⊥平面PBC。

變式一：如圖2，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，

（1）有多少對線線垂直？

（2）有多少對線面垂直？

（3）有多少對面面垂直？

變式二：如圖3，若B在AC，AD上的射影分別是E，F，連接EF，

（1）有多少對線線垂直？

（2）有多少對線面垂直？

（3）有多少對面面垂直？

變式三：（2008年浙江理科卷第14題）如圖4，已知球O的面上四點A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC= ，則球O的體積等于_________。

3.有利于數學思維的確立

如果將高中數學知識看做毫無關聯的多個知識點的累積，其學習難度將會被無限地放大，學生不能在面對難題的時候靈活地對所學的數學知識進行應用，那再新穎、多樣化的教學方法都失去了意義。變式教學是在例題的變換過程中培養學生的數學思維，使學生產生條件的微小變化都可能影響結論的意識，在處理數學問題過程中對條件有更明確的分析方法和嚴謹態度，并在邏輯運算的過程中時刻注意其細微變化。高中數學課程不應該以單純的解題步驟講解為學生扎實基本功的主要方法，而應該以學生建立正確的數學思維為主，只有學生產生了與題型相呼應的數學思維，才能在多樣化的題型中找到其本質，抓住本質處理問題。

變式教育是由高中數學課程自身特點所決定的，它在高中數學例題中的引入對于教師而言可以減輕教學的負擔，使教學目標、教學任務更好地實現，教學成果更加顯著。而對于學生而言，在對一道熟悉例題的變換過程中能夠了解多種新知識，方便將獨立的知識點聯成網絡，更有利于其記憶和應用，在高中數學例題教學中引入變式教育對于整個高中數學的系統教學都是行之有效的辦法。

參考文獻：

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編輯 王夢玉