數學史上幾個著名的猜測

一 梵塔問題

在印度北部的佛教圣地貝那勒斯的神廟里安放著一塊黃銅板，上面插著三根寶石針，其中一根針從上到下放置了由小到大的64片金片，這就是所謂的梵塔，不論白天黑夜，都有一位僧侶把這些金片在三根針上移來移去，移動的法則是：每次只能移一片，并且不論哪根針上，小片永遠在大片上面。印度教主梵天在創造世界時曾經預言，當所有64片都從他所放置的那根針上移到另一根針上時，“世界末日”就來到了。假定每移動一片需要1秒鐘，那么“世界末日”將何時到來呢？

可以先對簡單的特殊情況進行分析：如果只有一片金片，那么1次就可以完成，二片需要3次完成，那3片呢？我們可以這樣考慮；先把上面二片移到第二根上，需要3次，再把最大的第三片移到第三根針，需要1次，再把第二根針上的二片移到第三根針上，也是3次，所以共需7次，同理，四片時共需要7+1+7=15次，五片時需要15+1+15=31次，……通過觀察發現，這些數字是有規律的：1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，那么移動n個全片是不是需要2n-1次呢？

當然，這還僅僅是一種猜測，不是嚴格的證明。但是猜測、猜想并不是盲目的，毫無根據的瞎猜，在科學研究的各個領域里，許多定理、法則都是人們在對一些個別的、特殊的現象進行觀察研究、分析的基礎上，尋求共性，發現規律，然后對一般情況作出合乎情理的推斷、預測，再加以嚴格論證的。猜測雖然并不一定正確，但它有利于培養人們的探索能力，有利于發展創造性思維，有利于構思解決問題的方向；將建立在實踐基礎上的大膽猜測與理論上的嚴格論證有機地結合起來是科學研究的一種重要手段。

二 費爾馬大定理

法國數學家費爾馬常常把一些未加證明的猜測寫在封紙的邊上寄給友人，而這些猜測后來都一一被證明是正確的，唯一的例外就是著名的費爾馬大定理：“方程Xn+Yn=Zn，n∈N，當n≥3時沒有正整數解”尚未被完全證明，人們已經對相當大的自然數證明了它的正確性，但還是不能肯定對任何自然數n都成立，但也找不出一個反例來否定它。直到1993年6月普林斯頓大學數學教授安德魯J.懷爾斯發表的200頁論文《模橢圓曲線與費爾馬大定理》才最終解決了這個問題。

三 哥德巴赫猜想

你知道什么是哥德巴赫猜想嗎？它說的是：“任何一個大于2的偶數都可以表示成兩個質數的和”。利用計算機已經對1億3千萬個偶數驗證它的正確性，沒有發現反例。為了摘取這顆“數學皇冠上的明珠”，二百多年來，許多杰出的數學家，其中包括我國的華羅庚、王元等數學家為此付出了辛勤的勞動，他們從“1+9”、“1+8”、……到陳景潤完成“1+2”，一步步縮小包圍圈，做了大量的研究工作，促進了數學的發展，其意義已經遠遠超出了證明這個猜想本身。

四 費馬質數

當然，猜測也可能出錯，例如費爾馬猜想：形如F（n）=22+1（n為非負整數）的數，由于數F（0）=3，F（1）=5，F（2）=17，F（3）=257，F（4）=65537都是質數，于是費爾馬就猜測所有這樣的數都是質數。這一次他錯了，歐拉后來發現F（5）=4294967297是641的倍數，這樣的反例還可以找出許多。盡管這一猜測被否定了，然而高斯在研究用直尺和圓規作正n邊形時卻妙用了這個數，證明了只有費爾馬質數邊形可用尺規完成。這也從另一個角度說明了猜測在促進數學發展中的作用。

五 非歐幾何的創立

在初中平面幾何中大家都學過這樣一條公理：“過直線外一點作該直線的平行線，可以作一條，并且只可以作一條?！苯⒃谶@條公理基礎上的幾何學，就是歐幾里得幾何學。但是，對于這千條數學史上稱為“第五公設”的公理歷來是有爭議的，從歐氏幾何創立以來，許多人始終不承認這條公理，他們千方百計想證明它，有人甚至為此耗費了畢生的精力，也多次有人宣稱完成了這項證明，但事后被發現都錯了，因為在他們的證明中都無意地用到了這條公理本身而犯了邏輯循環錯誤。這個問題困擾了數學界兩千多年，直到20世紀初，有人就大膽地設想，既然不愿意承認它，而又無法證明它，為什么就不能否定它呢？以羅巴切夫斯基為代表的一種觀點認為，過直線外一點作該直線的平行線可以作無數條，而以黎曼為代表的另一種觀點則認為這樣的平行線根本不存在，在此基礎上他們創立了各自的幾何學：羅巴切夫斯基幾何學和黎曼幾何學，統稱非歐幾何。舉個例子說，在羅氏幾何中，三角形內角之和小于180°，而在黎曼幾何中則大于180°。同學們也許很難接受這樣的觀點，或許是受歐幾里得的觀念太深的緣故。愛因斯坦創立了狹義相對論，給出了那個著名的質能公式E=mc2，但是你們是不是知道他在研究過程中正是舍棄了歐氏體系中的高斯變換而改用了黎曼幾何中的勞倫斯變換才獲得成立的。也許有理由大膽地猜測，將來在對微觀世界的研究中取得重大的進展時用到的正是羅巴切夫斯基幾何學！

我們再回到“世界末日”問題上來，完成全部移動確實是

需要264-1次，“世界末日”到來的時間就是

年，大約接近5849億年，而現代科學認為整個太陽系的壽命無疑要短于200億年，當然更是遠遠短于5849億年。所以，梵天所預言的那個“世界末日”絕不會來臨！哪怕太陽系要消失了，人類也不會毀滅，到那時，人類的后代或許到廣闊宇宙中去開辟新的生存空間了。

〔責任編輯：范可〕