初中幾何證明探源

【摘 要】本文主要是從邏輯的角度來探討什么是幾何的形式證明，以及如何來進行推理、構造證明的過程。首先引入了命題邏輯的初步知識，由此得到了相應的一些運算，利用這些相關概念以及運算探討了什么是形式證明如何推理，最終從邏輯結構上弄清了證明的過程是一系列命題所組成的一個序列，并通過初中幾何證明的具體實例加以證實。

【關鍵詞】形式證明 命題 邏輯推理 序列

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）04-0141-02

在初中階段的數學學習過程中，幾何知識是許多學生都倍感頭痛的問題，尤其是幾何證明。這是一個較為普遍的現象，其成因頗多，既有主觀因素也不乏客觀因素。不少同學在聽老師講課時基本能懂能接受，但要其證明時就出現了這樣那樣的問題，不是不會寫證明過程，就是說不清理由；不是東扯西拉，就是前后銜接不上……還有就是想當然者——“我覺得就是這樣的”；更有甚者，將舉例說明和證明混為一談，真可謂是“百花齊放”，諸如此，林林總總，本文不在此一一列舉。

何謂證明？“一個命題的正確性需要經過推理，才能做出判斷，這個推理過程叫做證明。”人教版，七年級下冊21頁，如是說。誠然，這不能說其不對，但也確實不夠清楚。什么是“推理過程”？具體問題又該如何“推理”？從課本的這段話中，我們恐怕不易弄清以上問題。許多初學幾何的初中生雖能朗朗上口地背誦定理，但卻不能真正理解其含義，更談不上對其的運用。那么，為何初中生都普遍覺得幾何難學呢？問題究竟出在哪里？這些問題本文將稍后逐步探討。

幾何學是一門非常古老的學科，早在古希臘時期幾何學就已經非常繁榮，比如歐式幾何。時至今日，我們所學的初等幾何基本上都是建立在經歷了兩千多年的歐式幾何的基礎之上的，由此可見其古老性之一斑。雖然幾何學由來已久，并經過了數千年的積淀和研究，然而它仍然令一代又一代的學習者為之困惑，緣何？筆者認為，幾何學之難（尤其是幾何證明）關鍵在于其形式化的公理、定理、性質以及演繹推理等。所謂形式化，即是用一系列約定的符號（如邏輯符號）來表示概念、符號化命題以及推理，并將一定范圍內的所有正確的推理形式（邏輯規律）都匯集在一個整體中。在此基礎之上，由幾條公理及公設出發，并規定一些初始符號和規則，經過有效的邏輯推理，得出若干新的、正確的、可靠的結論（即命題），這些命題的集合就形成一個公理系統，這就是形式化幾何。初中幾何主要研究的是平面幾何的圖形性質及其數量關系，在歐式幾何的公理體系和框架下，早已經形成了許多有關平面幾何的命題，但是教師在教學的過程中絕不能只告訴學生們一個結果，更多時候教師需要引導他們去探索并發現規律，總結和證明他們發現的規律，要證明就必然要弄清形式化的推理。

下面，本文就從數理邏輯的角度來探討何謂推理？何謂證明？為此，需要介紹一些有關的數理邏輯概念和符號。

一 命題與邏輯運算符

定義1：具有確定真假性的陳述句稱為命題。

凡是命題都有真值，命題的真值只有兩種情況，即取自集合{0，1}，具體情況是：真命題的真值為1，假命題的真值為0。

定義2：具有唯一確定真值的陳述句稱為命題。

要判斷一個語句是不是命題，需要注意兩點：一是先判斷其是否為陳述句；其次是看其真值是否唯一確定，這兩個條件缺一不可。例如，“x>5，x∈R”，該語句雖然是陳述句，但卻無法判斷真假。因為x是可變的，當x取3時，其為假命題；當x取7時，其為真命題。這類語句可稱之為命題變元或稱之為命題變量，值得注意的是命題變元不是命題，原因是其真值是可變的，時真時假。此外，還要特別注意像“我正在說謊話”這樣的陳述句，這個語句無論你假設其真值為“1”還是“0”都會推出矛盾，這樣的語句稱之為悖論。在數學中比較著名的有“羅素悖論”。

通常命題可分為簡單命題和復合命題，簡單命題就是不能分解成更簡單的陳述句的命題，簡單命題也稱為原子命題。復合命題就是除簡單命題外的命題，復合命題也可以理解為是由邏輯運算符聯結簡單命題而成的。為了便于后面的討論，本文約定用小寫的英文字母p、q、r…表示命題或命題變元。

比較常用的邏輯運算符有5種：（1）“”稱為否定運算符，讀為“非”。（2）“”稱為合取運算符，讀為“且”或“與”。（3）“”稱為合取運算符，讀為“或”。（4）“”稱為蘊含運算符，讀為“蘊含”。（5）“”稱為等價運算符，讀為“等價”。

以上5種邏輯運算有其優先級，規定其優先順序為：（）、、、、、，其中“（）”的意思是有（）的就先算，然后再按照、、、、的順序來做運算，對于同一優先級的運算符，先出現者先算。

二 推理和證明

定義3：命題公式遞歸定義如下：（1）單個的命題常量或命題變量是命題公式；（歸納基）。（2）若A、B是公式，那么A、AB、AB、AB和AB也是命題公式；（歸納步）。（3）所有的命題公式都是有限次使用（1）和（2）得到的符號串；（最小化）。

在這里可以使用大小寫英文字母表示命題公式，英文字母還可帶下標。以后在沒有二義的情況下，將命題公式簡稱為公式。命題邏輯的推理理論就是利用命題邏輯公式研究什么是有效的推理。

定義4：推理就是從前提集合開始演繹出結論的思維過程，前提集合是一系列已知的命題公式，結論是從前提集合出發應用推理規則推出的命題公式。

若前提是一系列真命題，并且推理中嚴格遵守推理規則，則推出的結論也是真命題。在命題邏輯中，主要研究推理規則。

定義5：稱蘊含式（A1A2…An）B為推理的形式結構，A1，A2，…，An為推理的前提，B為推理的結論。若（A1A2…An）B為永真式，則稱從前提A1，A2，…，An推出結論B的推理正確（或說有效），B是A1，A2，…，An的邏輯結論或稱有效結論，否則稱推理不正確。若從前提A1，A2，…，An推出結論B的推理正確，則記為（A1A2…An）B。

通俗地講（A1A2…An）B即是說，若A1，A2，…，An都正確，則B也正確。清楚了什么是推理以及推理的結構后，下面來討論什么是證明。

定義6：證明是一個描述推理過程的命題公式序列A1，A2，…，An，其中的每個命題公式或者是已知的前提，或者是由某些前提應用推理規則得到的結論，滿足這樣條件的公式序列A1，A2，…，An稱為結論An的證明。

在證明中常用的推理規則有3條：（1）前提引入規則：在證明的任何步驟都可以引入已知的前提；（2）結論引入規則：在證明的任何步驟都可以引入這次已經得到的結論作為后續證明的前提；（3）置換規則：在證明的任何步驟上，命題公式中的任何子公式都可用與之等值的公式置換，得到證明的公式序列的另一公式。

以上是一些基本的邏輯推理規則，如何運用這些規則進行推理和證明呢？在定義6中可以看到，證明實質上就是要把已知的命題公式按照一定順序排列起來，那么具體問題的證明要如何來將那些已知的條件、公理、定理、推論以及性質等（諸如此類在邏輯上都可視為命題公式）按照怎樣的順序來排列呢？下面，通過初中幾何中的具體實例進一步體會理解證明的實質。

例如，已知：如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=DB，AE=CF。

求證：DE=DF。

分析：由△ABC是等腰直角三角形可知，∠A=∠B=45°，由D是AB中點，可考慮連接CD，易得CD=AD，∠DCF=45°。從而不難發現△DCF≌△DAE。

證明：連接CD。

∵AC=BC；

∴∠A=∠B。

∵∠ACB=90°，AD=DB；

∴CD=BD=AD，∠DCB=∠B

=∠A。

∵AE=CF，∠A=∠DCB，AD=CD。

∴△DCF≌△DAE。

∴DE=DF。

上述證明的過程，實質上就是一個命題的序列，可以如下來看：（1）等腰三角形△ABC兩腰相等（AC=BC）；（2）等腰三角形△ABC兩底角相等（∠A=∠B）；（3）已知條件（∠ACB=90°，AD=DB）；（4）等腰三角形△DCB兩腰及兩底角相等；（5）等量減等量得等量（AE=CF），（4）得出的結論（∠A=∠DCB，AD=CD）；（6）三角形全等的判定定理SAS（△DCF≌△DAE）；（7）全等三角形對應邊相等（DE=DF）。

這里的（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）不就是一個序列嗎？并且序列中的（7）就是要證明的結論，其實所有的證明都是如此，只要按照邏輯的推理規則構造出一個包含證明結論的序列即可。那么，在這七步的序列中運用了哪些推理規則呢？（1）前提引入規則；（2）前提引入規則；（3）前提引入規則；（4）假言推理規則；（5）置換規則和結論引入規則；（6）假言推理規則；（7）假言推理規則。

數學能夠非常有效地訓練人的邏輯思維能力，它是其他學科無可替代的，而數學證明又是最為有效的途徑，正如羅增儒先生所說，數學證明有助于獲得新的體驗、發現新的結論；有助于增進理解，只有清楚了一個命題的證明，才能真正理解該命題的內容。對于幾何證明，首先應該弄清題意，明確證明方向即把握好題目的已知條件和要證明的結論，然后結合圖形理清思路，把和本題有關的命題搜索出來，再來思考需要用到哪些定理，將其羅列出來，最后按照邏輯的思維方法把它們構造成一個包含要證明結論的序列，這就完成了證明的過程。

參考文獻

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