高中數學解題常見入手點問題探討

【摘要】入手點作為解題的源頭，統領解題的整個過程，是培養學生提高分析問題、解決問題能力的重要支撐點。本文針對入手點的特征、功能、與解題關系的內在聯系，構建了如何有效解題的可支配型策略。

【關鍵詞】入手點特征功能解題

入手點作為解題之始，思維之初，對解題至關重要。老師在教學中不乏對入手點的歸納、提煉、指導、訓練，但學生們缺乏對多入手點的靈活機動地分析、比較、銜接、切換、調整、綜合的處理能力。顯然，加強對入手點的教學，加深對入手點的本質特征、功能、與解題關系的探索、思考，已成為構建了如何有效解題的必由之路。

1入手點的\"前進性\"思維特征與立足長遠入手解題。

從教育學分析，解題是一個系統過程，我們在問題分析教學中不能就入手點講入手點，割裂入手點與整體解題的聯系，相反，應深入地剖析入手點與整體解題的聯系。

例1、求f（x）= 2（x+1）+12x+1的值域。

分析：學生易想到分離常數，得f（x）=2+-12x+1 ，此時入手于何處？源頭在哪里？不難看到解析式的核心是2x，它能成為入手破題的源頭嗎？請看它的前進性功能：

2x （0， +∞ ）2x+1 （1， +∞ ） 12x+1（0， 1）12x+1 （ -1， 0）f（x） （ -1， 1）

向著目標，不斷挺進，持續發展，美不勝收！

這樣的例子數不勝數！

它們不正是我們數學學科的轉化思想的深刻體現嗎？

2入手點的\"后退性\"思維特征與后退一步解題法。

華羅庚先生曾說，解題要善退，要退到我們熟悉的知識，熟悉的方法，熟悉的起點中來，再以它們為基礎向前探索，前進，就能到達綜合創新的彼岸。

例2、M={a0， a1， a2， a3}，規定ai aj=ak，其中k是i+j被4除的余數。令N={ ai ︳ai ai=a2， ai M}，則N的元素為 。

說明：①本題考查新運算符 ，這類題目集中考查學生對新運算符的自主探究、嘗試、理解、創新應用的能力，是近幾年高考的熱點。

②學生總想一蹴而就地理解掌握新符號，但對新事物理解總是一個過程，困難隨之出現了。

③理解是一個過程，用過程去理解。教學中，要指導學生，理解新符號，\"貴\"在\"退\"字，這樣的解法就是后退一步解題法。特點是：入手低，講發展，重過程。

3入手點解題的階段性特征

事物總是發展變化的。綜合問題的解決常具有階段性特征。一個成功的入手點可以推動本階段任務的完成，進入到新的階段，就需要重新開始，重新挖掘新的入手點，開啟新的征程。

例3、已知3a=4b=6c，試探究a、b、c的關系。

分析：已知條件中的a、b、c據于指數位置，看看結論，它指引我們把它們\"取\"出來，探尋其間的直接的等量關系。

本題的解決呈現階段性特征：

階段一 入手點：分離出a、b、c，令3a=4b=6c=N，得 a=log3N， b=log4N， c=log6N

階段二 新入手點：解決當前的首要問題：不同底，換底得：

a= lgNlg3b=lgN2lg2c=lgNlg6

階段三 新入手點：尋找原始的等量關系：lg6=lg2+lg3

進而：lgNc = lgN2b+lgNa ∴1c=12b+1a即為所求。

不斷發展的入手點依次產生了！

4入手點的多樣性與多樣性的入手解題法。

4.1知識點入手解題法。

數學學科的基本知識點是解答數學問題的基石，是理所當然的入手點。

例4、已知a2+b2=1，c2+d2=4，求ac+bd的取值范圍。

分析本題的條件與結論，它們的結構都有明顯的知識特征。

法一：與三角知識特征相符，入手點：三角換元，令a=cosα ， b=sinα ， c=2cosβ ， d =2sinβ ，進而得ac+bd=2cos（ αβ ） [2， 2]。

法二：本題也符合向量內積的知識特征，入手點：引入向量，

兩種解法都顯示出知識點入手解題的巨大魅力！

4.2數學思想（方法、模型）入手解題法。

數學思想是數學學科的思維核心，它充滿了數學學科的每一角落，是數學學科最有力的武器。從數學思想入手破題，我們的解題就有了靈魂，有了方向。

例5、已知a212x2， x [- 1， 1]，a>0且a ≠1，求a的范圍。

分析：（1）本題既考查指數函數ax，又考查二次函數 12x2，兩者的解析式不易結合，但兩者的圖象都易獲得，數形結合是入手點一。

（2）本題的指數函數y=ax（a>0且a ≠1）具備不確定性，故適于分類討論，即入手點二。

兩大數學思想相結合，分類作圖，即可解得答案。

5入手點的辯證統一，靈活多變與立體式、交互式、網絡式發展。

5.1解剖入手點的功能、作用，它們是入手點相互結合的根源。

教學中對學生的指導不能只講操作，要落實到對入手點作用、功能的挖掘上，它們是入手點有機結合的土壤。

例6、求函數f（x）=lg（x2- x -2）的單調區間

分析：本題：教學中\"老師反復講解，學生反復出錯\"。稍加推敲，不難發現本題有兩個入手點，（1）定義域；（2）函數分解與單調性合成。解題的關鍵在于兩個點位的合成。學生易錯。

5.2入手點的切換，\"學得無助感\"與\"逃脫性學習法\"。

例7、已知f（x）=a -22x+1 ，當a為何值時，f（- x）= -f（x）恒成立。

這不是一道題，但學生仍有陷入危機的可能。

我的一位學生作如下分析：由f（ -x）=- f（x）得a -22-x+1= -a+ 22x+1∴22x+1+22-x+1=a

學生想入手通分，發現難，于是先處理2 -x得：22x+1+12 1x+1=a，因為思維的慣性，學生又想通分，仍然失敗，學生說他自己都要絕望了……

這種情形，關系重大，一定要指點學生自主\"逃生\"：

第一步：指點學生將剛才的想法（通分法）密封起來，堅決不用，打破思維的慣性。

第二步：學生清醒過來，重新入手，重新定位，多角度找入手點，或采用后退法找入手點，學生一定可以找到新的入手點，逃出生天。

不斷交匯發展，創新的問題變式教學不但可以向學生深刻展現數學問題的形成過程，還可以培養學生靈活地、發展地、綜合地、辯證地入手解題，促進解題入手的立體式，交互式、網絡式發展。促進學生辯證思維能力形成。

【參考文獻】

[1]《現代心理學》————上海人民出版社張春興著

[2]《數學學科中發現問題，分析問題，解決問題常見策略初探》————蔣元政