預應力梁橫向振動分析的模態攝動方法

摘要：本文重點闡述了當前形式下預應力梁的分析方式，并針對橫向振動提出了模態攝動方法，根據預應力梁橫向振動方程分析預加力對預應力梁影響的三種可能性方程，最終設定算例，將三種方程帶入其中，分析不同偏心距帶來的影響，最終確立依靠模態攝動方式，總結出偏心距較大預應力對梁的自振特性有較大的影響這一思想。

關鍵詞：預應力;B-E;模態攝動;偏心距

1.引言

預應力結構主要能夠解決建筑中不同受力方向力的構造需求，通過改變預應力，能有直接影響建筑構造的動力以及靜力。因此預應力得到了廣泛的研究，但是預應力結構應用范圍廣，預加力對預應力結構產生不同方向的影響，尤其是橫向振動這一方面，二者之間有著復雜的關系，因此研究內容有限。本文從建立預應力梁振動方程入手。以預應力簡支梁為例，以文獻計算方程、Bernoulli-Euler"梁（簡稱"B-E"梁，即：軸心均勻梁）方程、模態攝動方程為主要分析手法，進一步的做了對比研究，希望通過本文的分析，大家能對模態攝動方程有一個系統的了解。

2預應力梁橫向振動方程

2.1橫向振動方程

本文以簡支梁為主要分析對象，通過圖1我們可以看出，將一對預加力作用在鋼筋混凝土預應力簡支梁錨固點的兩端，我們設由于壓力所造成的偏心距為，設兩端軸壓力為，當受到壓力時，除了外，此時還應當有第三力存在，即為附加力偶，將這個力偶的初始值設為M="。綜上所述，參考這些設定值可以做出如下判斷：當梁受到震動從而產生變形時梁的兩端預加力一定會發生變化。通過此可設方程

（1）

在自由振動條件下，預應力梁的橫向彎曲振動微分方程為：

=0（2）

式中"EI（x）為梁的抗彎剛度，m"為梁的單位長度質量，y"為振動位移。把式（1）代入式（2）得

=0（3）

若假定所考慮的是均勻梁，梁的截面抗彎剛度和單位梁長的質量"都為常數，同時和也為常數，而和為坐標的函數。一般認為遠小于，因此遠小于，可以忽略不計。這樣可成立等式為

（4）

2.2預加力對預應力梁影響的三種可能性方程

根據上述方程推導可得知"是隨振動位移的變化而變化的預加力改變量，它對梁振動的影響表現在式（4）中的最后一項，減小了梁截面上的剪力，這一剪力的大小還與偏心距成比例。為使方程可解，需建立起與間的聯系。這一關系較為復雜，本文假定與梁的振動位移成正比：

根據上述方程推導Bernoulli-Euler"梁自由振動方程、文獻[2、3]振動方程、以及本文模態攝動方程，從而分析預加力對預應力梁的動力特性有一定的影響：

（1）由于預加力的作用，使梁的橫向振動比"Bernoulli-Euler"梁（簡稱"B-E"梁）要復雜得多。即使是均勻梁，其橫向振動方程也成為變系數的復雜微分方程，求解難度增加。眾所周知，均勻等截面的"B-E"梁的橫向自由振動方程為

（2）文獻[2，3]是預加力對梁的動力影響分析的方程總結（具體方程詳見文獻[2，3]頁數），通過其中的方程公式推導梁中點振動位移"y與成正比，得出適用于本文預應力梁橫向振動的推導方程

（3）本文擦用模態攝動的方式進行方程解析，所謂模態攝動就是在：B-E"梁的基礎上進行新的參數修改，由于推導篇幅有限不能進行復雜的推導演繹，遂列舉其最終的模態攝動法求解方程組.

3.通過橫向振動方程進行算例結果分析

將上文中預加力對預應力梁影響的三種可能性方程以實際算例計算進行分析，分析對象為建筑工地最長間的簡支梁數據，即：高為h=600mm寬為b=300mm的簡支梁，在此設預加力、偏心距為e、梁長"L取兩組不同的偏心距數據進行對比分析，即：e=50mm，"e/h=0.083時數據與e=200mm，"e/h=0.3333時數據。在此算例中采用"3"種不同方法計算預應力簡支梁的自振頻率。這"3"種方法分別是：（1）""不考慮預應力影響，即按"B-E"梁計算（誤差1的表述方式）;（2）""文獻[2，3]方法（誤差2的表述方式）;（3）""本文建議的模態攝動法（誤差3的表述方式）

表"1a"""不同偏心距"e"對梁自振頻率的影響（e=50mm，"e/h=0.083）

計算方法

本文

59.89

241.72

544.21

967.50

誤差1/%

1.95

0.27

0.067

0.015

誤差2/%

0.91

0.015

-0.049

-0.050

誤差3/%

-1.02

-0.26

-0.12

-0.07

表"1b"""不同偏心距"e"對梁自振頻率的影響（e=200mm，"e/h=0.3333）

計算方法

本文

63.5363.53

250.98

556.89

982.57

誤差1/%

19.55

3.06

0.77

0.18

誤差2/%

-4.86

-3.68

-2.32

-1.58

誤差3/%

-20.42

-6.54

-3.07

-1.76

從表中的數據可看出：預加力偏心距的大小對梁的各階自振頻率的影響較大，偏心距越大，按"B-E"梁計算產生的誤差也越大，按照模態攝動計算所產生的誤差越小。因此模態攝動計算有助于在偏心距不固定的狀態下對預應力梁橫向振動進行分析。

結束語：

模態攝動分析方式并不適合分析所有領域的預應力梁橫向振動，比如在B-E并不確定為軸心均勻梁的情況下，或者偏心距固定的預應力梁，因此在對比分析時應進行梁的判定，當然本文還存在許多不足之處，沒有對三種公式進行細致的推導、沒有對不同預加力對梁的自振影響進行分析，希望業界各位同仁能夠一同努力，對此問題進行逐一探討分析。

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