古塔變形問題的數(shù)值分析

【文章摘要】

文物是一個(gè)國(guó)家不可再生的文化資源，但是有些文物的變形日趨加重。本文依據(jù)管理部門委托測(cè)繪公司先后對(duì)古塔四次測(cè)量的的數(shù)據(jù)，用求多邊形幾何中心的方式確定古塔每層的中心位置；利用線性回歸方法，判斷古塔的彎曲變形情況，給出了較為合理的解釋。

【關(guān)鍵詞】

擬合；線性回歸；中心點(diǎn)；MATLAB

【Abstract】

Cultural heritage is a national non-renewable resources， but some distortion artifacts increasingly worse. In this paper， based mapping company has entrusted management of Guta four measured data， using the geometric center of polygon Guta way to determine the center of each location； using linear regression method to determine the bending deformation Guta， given the more reasonable explanation

【Keyword】

fit；linear regression；center point；MATLAB

1 問題提出

由于長(zhǎng)時(shí)間承受自重、氣溫、風(fēng)力等各種作用，偶然還要受地震、颶風(fēng)的影響，古塔會(huì)產(chǎn)生各種變形，諸如傾斜、彎曲、扭曲等。為保護(hù)古塔，文物部門需適時(shí)對(duì)古塔進(jìn)行觀測(cè)，了解各種變形量，以制定必要的保護(hù)措施。

某古塔已有上千年歷史，是我國(guó)重點(diǎn)保護(hù)文物。管理部門委托測(cè)繪公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月對(duì)該塔進(jìn)行了4次觀測(cè)（數(shù)據(jù)參見2013年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題附件1）。根據(jù)4次觀測(cè)、測(cè)量數(shù)據(jù)，討論以下問題：

（1）給出確定古塔各層中心位置的方法，并列表給出各次測(cè)量的古塔各層中心坐標(biāo)。

（2）分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。

2 問題分析

對(duì)于問題一：

對(duì)于求古塔各層中心位置的問題，我們將其簡(jiǎn)化為求多邊形的幾何中心點(diǎn)問題，將每一層古塔看為空間中均勻的n邊形，將n邊形分為（n-2）個(gè)三角形，根據(jù)三角形重心求解方法得出各個(gè)小三角形的重心坐標(biāo)，再根據(jù)海倫公式求出各個(gè)小三角形的面積，最后根據(jù)定理（詳見參考文獻(xiàn)[1]）得出多邊形的中心坐標(biāo)位置。

對(duì)于問題二：

通過查閱資料可以知道建筑的傾斜度是頂層重心到底層重心的位移來推算傾斜角的基本原理。用第一問求出的頂層重心到底層重心的重心坐標(biāo)可以求出傾斜角和位移值。利用回歸平面確定古塔的彎曲變形，通過第一問每次測(cè)量的每層重心坐標(biāo)的變化量反映出古塔的扭曲和沉降變形。

對(duì)于問題三：

通過對(duì)第二問傾斜角度和水平位移變化量的分析，可得到時(shí)間的變化對(duì)古塔傾斜角度和水平位移的影響；利用第二問求出的數(shù)據(jù)，我們根據(jù)人的視覺角度，由于每層塔的平面之間有夾角存在，會(huì)引起人的視覺誤差，我們進(jìn)行了加權(quán)評(píng)估，分析每層塔對(duì)整個(gè)塔的影響，可以更精確的得到古塔彎曲的變化量；我們算出每層塔重心坐標(biāo)差值的平均值隨時(shí)間的變化量，反映出了古塔的扭曲和沉降變形。

4 模型的評(píng)價(jià)與推廣

通過運(yùn)用任意多邊形勻面重心的方法計(jì)算出古塔每層的重心坐標(biāo)；比利用平均值求多邊形的重心更加準(zhǔn)確，合理。運(yùn)用回歸平面確定了古塔每層的法向量與x、y、z軸的夾角，可準(zhǔn)確的判斷出古塔的彎曲變形。利用權(quán)重更合理的判斷出古塔的彎曲變形趨勢(shì)。

該模型簡(jiǎn)單明了，容易理解，可以靈活的運(yùn)用，具有很強(qiáng)的使用價(jià)值，因此可以將該模型推廣于高層建筑物的變形，更好的對(duì)建筑物進(jìn)行維護(hù)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]戴朝壽.數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)明教程[M].高等教育出版社，2008.

[2]韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用[M]. 高等教育出版社，2005.

[3]左加.任意多邊形勻面重心的計(jì)算方法，http：//wenku.baidu.com/view/14b12f0bf78a6529647d534f.html，2013，9，13.

[4]李凱華.2013高教杯數(shù)學(xué)建模大賽C題.

[5]肖華勇.實(shí)用數(shù)學(xué)建模與軟件應(yīng)用[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2008.11.