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加強數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)

2014-04-29 00:00:00呂建剛
學(xué)周刊·中旬刊 2014年2期

摘要:培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力遠(yuǎn)比單純地教授學(xué)生數(shù)學(xué)知識更為重要。然而,目前的數(shù)學(xué)教學(xué)中,部分教師卻過于重視對知識的傳授,而忽略了學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng),未教給學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的基本方法和策略。鑒于此,如何教會學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題就成為了廣大教師必須研究的重要課題。本文中筆者試從教學(xué)實際出發(fā),結(jié)合自己的教學(xué)實踐和經(jīng)驗,以例題為載體,就如何解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題提出了三點有效策略,以供大家參考。

關(guān)鍵詞:應(yīng)用數(shù)學(xué);內(nèi)嵌定義;問題符號化;設(shè)置參數(shù)

一、從問題內(nèi)嵌的定義入手

若干應(yīng)用題往往內(nèi)嵌一些新定義,以此考查學(xué)生學(xué)習(xí)新知識、遷移新知識的能力。因此,解答此類應(yīng)用題,若能從內(nèi)嵌的新定義入手,則往往是有效的。

例1:某地現(xiàn)有耕地10000公頃,規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%,人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增長率為1%,那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃(精確到1公頃)?

(糧食單產(chǎn)=,人均糧食占有量=)

[分析]本例內(nèi)嵌兩個新定義,涉及到的術(shù)語有耕地、糧食單產(chǎn)、人均糧食占有量、人口增長率。若能從兩個新定義入手,準(zhǔn)確理清各個術(shù)語之間的關(guān)系,那么問題的解決就變得簡單多了。

[解]設(shè)耕地平均每年至多減少x公頃;現(xiàn)有人口數(shù)為p,現(xiàn)人均糧食占有量為b噸,耕地為104公頃,則糧食單產(chǎn)為噸/公頃;十年后有人口為p(1+1%)10,人均糧食占有量為b(1+10%)噸,由于糧食單產(chǎn)10年后比現(xiàn)在增加22%,所以有:,化簡得:x≤4,故按計劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃。

二、引入恰當(dāng)?shù)姆枺瑢栴}符號化

應(yīng)用問題往往文字?jǐn)⑹鋈唛L,而且常伴有新名詞、新術(shù)語,令人望而生畏,而我們?nèi)裟軐⑦@些新名詞、新術(shù)語用一定的數(shù)學(xué)符號來表示,問題的敘述就會大大簡化。

例2:如圖是一個計算裝置示意圖,J1、J2是數(shù)據(jù)入口,C是計算結(jié)果的出口,計算過程是由J1、J2分別輸入自然數(shù)m和n,經(jīng)過計算以后得自然數(shù)K,然后由C輸出。

此種計算裝置完成的計算滿足以下三條性質(zhì):

1.若J1、J2分別輸入1,則輸出結(jié)果為1;

2.J1輸入任何固定的自然數(shù)不變,J2輸入自然數(shù)增大1,則輸出結(jié)果比原來增大2;

3.若J2輸入1,J1輸入自然數(shù)增大1,則輸出結(jié)果為原來的2倍。

試問:

Ⅰ.若J1輸入1,J2輸入自然數(shù)n,輸出結(jié)果為多少?

Ⅱ.若J2輸入1,J1輸入自然數(shù)m,輸出結(jié)果為多少?

Ⅲ.J1輸入自然數(shù)m,J輸入自然數(shù)n,輸出結(jié)果為多少?

[分析]此題源于湖北的一份高考模擬題,許多學(xué)生欲解而不能,即使個別學(xué)生能寫出結(jié)果但往往寫不出合理的推理過程,其實就是不會數(shù)學(xué)化,這恰是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的不足。該例關(guān)鍵是引入數(shù)學(xué)符號,將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)符號語言。

事實上,記該裝置的數(shù)據(jù)處理過程為函數(shù):f(m,n)=k,則三條性質(zhì)可以直譯成:

1.f(1,1)=1;

2.f(m,n+1)=f(m,n)+2;

3.f(m+1,1)=2f(m,1)。

從而所需解決的三個問題依次可翻譯成:

Ⅰ.f(1,n)=?

Ⅱ.f(m,1)=?

Ⅲ.f(m,n)=?

至此問題就成了一個純數(shù)學(xué)問題,思路已顯而易見,只要能熟練應(yīng)用數(shù)列知識便可獲解。

三、設(shè)置足量的、合理的參數(shù)

有些數(shù)學(xué)應(yīng)用題,僅僅瞄準(zhǔn)目標(biāo)引入變量是不夠的,還需要設(shè)置參數(shù),引進輔助變量。像例1就設(shè)置了“現(xiàn)有人口數(shù)p”和“現(xiàn)人均糧食占有量b噸”兩個參數(shù)。若離開了這兩個參數(shù),就無法很好地利用內(nèi)嵌的兩個定義。由此可見,設(shè)置足量的、合理的參數(shù)是解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題很好的入手策略之一。

例3:用洗衣機洗衣時,洗滌并甩干后進入漂洗階段。漂洗階段由多次漂洗和甩干組成,每次漂洗后可使殘留物均勻分布,每次甩干后(包括洗滌后的甩干)衣物中的殘留水分(含有殘留物)的重量相同,設(shè)計時,將漂洗的總用水量定為a千克,漂洗并甩干的次數(shù)定為3次。為使漂洗后衣物中的殘留物最少,怎樣確定每次漂洗的用水量,并寫出你的數(shù)學(xué)依據(jù)。

[分析]顯然很難把所給的文字和數(shù)學(xué)符號翻譯成數(shù)學(xué)關(guān)系。為便于解決,可參考設(shè)置以下參數(shù):

設(shè)每次甩干后衣物中的殘留水分(含有殘留物)的重量為m,洗滌并甩干后衣物中的殘留物(不含水分)為n0,三次漂洗并甩干后衣物中的殘留物(不含水分)分別為n1、n2、n3,三次用水量分別為a1、a2、a3。(以上各量單位皆為千克)

有了以上的參數(shù)設(shè)置,建立數(shù)學(xué)模型就容易得多了。

[略解]由已知得,解得:,同樣可得:

由a1+a2+a3=a及平均數(shù)定理得:

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。

由上可知,將a千克的水平均分成三次使用,衣物上的殘留物最少。

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