加強數學應用的教學

摘要：培養學生的數學應用能力遠比單純地教授學生數學知識更為重要。然而，目前的數學教學中，部分教師卻過于重視對知識的傳授，而忽略了學生應用能力的培養，未教給學生應用數學知識的基本方法和策略。鑒于此，如何教會學生應用數學知識解決數學問題就成為了廣大教師必須研究的重要課題。本文中筆者試從教學實際出發，結合自己的教學實踐和經驗，以例題為載體，就如何解答數學應用題提出了三點有效策略，以供大家參考。

關鍵詞：應用數學；內嵌定義；問題符號化；設置參數

一、從問題內嵌的定義入手

若干應用題往往內嵌一些新定義，以此考查學生學習新知識、遷移新知識的能力。因此，解答此類應用題，若能從內嵌的新定義入手，則往往是有效的。

例1：某地現有耕地10000公頃，規劃10年后糧食單產比現在增加22%，人均糧食占有量比現在提高10%。如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？

（糧食單產=，人均糧食占有量=）

[分析]本例內嵌兩個新定義，涉及到的術語有耕地、糧食單產、人均糧食占有量、人口增長率。若能從兩個新定義入手，準確理清各個術語之間的關系，那么問題的解決就變得簡單多了。

[解]設耕地平均每年至多減少x公頃；現有人口數為p，現人均糧食占有量為b噸，耕地為104公頃，則糧食單產為噸/公頃；十年后有人口為p（1+1%）10，人均糧食占有量為b（1+10%）噸，由于糧食單產10年后比現在增加22%，所以有：，化簡得：x≤4，故按計劃該地區耕地平均每年至多只能減少4公頃。

二、引入恰當的符號，將問題符號化

應用問題往往文字敘述冗長，而且常伴有新名詞、新術語，令人望而生畏，而我們若能將這些新名詞、新術語用一定的數學符號來表示，問題的敘述就會大大簡化。

例2：如圖是一個計算裝置示意圖，J1、J2是數據入口，C是計算結果的出口，計算過程是由J1、J2分別輸入自然數m和n，經過計算以后得自然數K，然后由C輸出。

此種計算裝置完成的計算滿足以下三條性質：

1.若J1、J2分別輸入1，則輸出結果為1；

2.J1輸入任何固定的自然數不變，J2輸入自然數增大1，則輸出結果比原來增大2；

3.若J2輸入1，J1輸入自然數增大1，則輸出結果為原來的2倍。

試問：

Ⅰ.若J1輸入1，J2輸入自然數n，輸出結果為多少？

Ⅱ.若J2輸入1，J1輸入自然數m，輸出結果為多少？

Ⅲ.J1輸入自然數m，J輸入自然數n，輸出結果為多少？

[分析]此題源于湖北的一份高考模擬題，許多學生欲解而不能，即使個別學生能寫出結果但往往寫不出合理的推理過程，其實就是不會數學化，這恰是中學數學教育的不足。該例關鍵是引入數學符號，將文字語言翻譯成數學符號語言。

事實上，記該裝置的數據處理過程為函數：f（m，n）=k，則三條性質可以直譯成：

1.f（1，1）=1；

2.f（m，n+1）=f（m，n）+2；

3.f（m+1，1）=2f（m，1）。

從而所需解決的三個問題依次可翻譯成：

Ⅰ.f（1，n）=？

Ⅱ.f（m，1）=？

Ⅲ.f（m，n）=？

至此問題就成了一個純數學問題，思路已顯而易見，只要能熟練應用數列知識便可獲解。

三、設置足量的、合理的參數

有些數學應用題，僅僅瞄準目標引入變量是不夠的，還需要設置參數，引進輔助變量。像例1就設置了“現有人口數p”和“現人均糧食占有量b噸”兩個參數。若離開了這兩個參數，就無法很好地利用內嵌的兩個定義。由此可見，設置足量的、合理的參數是解答數學應用題很好的入手策略之一。

例3：用洗衣機洗衣時，洗滌并甩干后進入漂洗階段。漂洗階段由多次漂洗和甩干組成，每次漂洗后可使殘留物均勻分布，每次甩干后（包括洗滌后的甩干）衣物中的殘留水分（含有殘留物）的重量相同，設計時，將漂洗的總用水量定為a千克，漂洗并甩干的次數定為3次。為使漂洗后衣物中的殘留物最少，怎樣確定每次漂洗的用水量，并寫出你的數學依據。

[分析]顯然很難把所給的文字和數學符號翻譯成數學關系。為便于解決，可參考設置以下參數：

設每次甩干后衣物中的殘留水分（含有殘留物）的重量為m，洗滌并甩干后衣物中的殘留物（不含水分）為n0，三次漂洗并甩干后衣物中的殘留物（不含水分）分別為n1、n2、n3，三次用水量分別為a1、a2、a3。（以上各量單位皆為千克）

有了以上的參數設置，建立數學模型就容易得多了。

[略解]由已知得，解得：，同樣可得：

由a1+a2+a3=a及平均數定理得：

當且僅當時等號成立。所以，當且僅當時取等號。

由上可知，將a千克的水平均分成三次使用，衣物上的殘留物最少。