淺談高中數學思維

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）09-0161-02

數學是思維的體操。相比初中階段，高中數學更加強調數學思維的培養和數學方法的運用。數學思維是高中數學學生能力高低的衡量標準。筆者就高中數學思維中最為重要的幾種思維方式進行簡要的分析，希望能對大家有所幫助。

一、分類

分類的思維是指按照一定的標準把一個問題分割成為幾部分，并逐一分析解決問題的思維方式。分類思維首先要確定解決問題時分類的標準，它是解決問題的前提和綱領。在高中數學函數部分中，經常采用分類思維研究分析問題。許多問題學生之所以感覺到困難就是在于分類的標準找不準。分類標準的尋找取決于思考問題的個人，有時并不唯一。在思維達到一定程度之后，再來審視分類的原則，常常會使學生開拓思維，加深對問題的深層次理解。分類原則制定之后，各部分的問題解決方式大多是統一的。當我們再回顧分類的所有部分時，會發現各部分問題的總和就合并為原來的問題，即分類的要求是不重復不遺漏。而對于學生來講，這種分類思維陌生而且繁瑣。如果學生總是希望能夠一蹴而就解決問題，那么在面對這類問題時，學生往往容易產生挫敗感。反過來說，培養學生分類思維，其實在某種程度上也培養了學生的解決問題的意志品質，對于學生學習數學是十分有幫助的。

二、歸納

歸納思維是指總結一類問題，提煉出共性，并形成固定模式和解題思路的過程。歸納思維是從特殊到一般，它是一種良好的總結舊知識發現新知識的思維方式。歸納思維是一種探測性思維方式。在通過對個別同類事物考查之后，形成一種普遍性結論。眾所周知，歸納的結論需要證明。這一點也正是學生的短板。在高中階段，關于證明部分，考綱對于學生的要求比較低。一般只是通過歸納得出結論，然后直接應用結論進行解題。這樣的模式下，更多要依賴于學生的感性認識和對結論的熟悉程度。這也導致學生結論掌握不扎實，或者結論掌握不全面。歸納思維是學生邁向高中數學的重要一步。學生有了歸納思維的利器，才能在高中數學里所向披靡。另外，關于歸納思維的一個誤區是把問題的整理總結與歸納思維劃等號。總結知識和解題的思路，只能是歸納思維的較低層次的表現，當然總結和整理對于學生是十分必要的。

三、類比

在高中數學的教學過程中，類比思維運用十分廣泛。類比思維是指參照某一事物具有的特征和性質，推測另一類事物也具有相同或相似的特征和性質。高中階段數學教學任務繁重并且知識量龐大，類比思維可以有效的建立知識與知識之間的聯系，構建知識網絡和知識體系。類比思維注重知識之間的橫向聯系。按照尋找類比對象角度的不同，常分為三個類型：降維類比，結構類比和簡化類比。第一種降維類比是將三維空間的對象降到二維或一維空間中的對象。第二種結構類比是指某些待解決的問題沒有現成的類比物，但可通過觀察，憑借結構上的相似性等尋找類比問題，然后通過適當的代換，將原問題轉化為類比問題解決。第三種簡化類比，就是將原命題變換到比原命題簡單的類比命題，通過類比命題解決思路和方法的啟發，尋求原命題的解決思路與方法。比如可先將多元問題類比為少元問題，高次問題類比到低次問題，普遍問題類比到特殊問題。

四、抽象

數學是一門研究數與形的學科，無論是研究代數還是幾何，它都是有高度的概括性和邏輯性。在數學上使用符號語言來進行問題的表述，邏輯的推理和問題的求證。使用符號語言使得數學問題高度凝練簡潔。這就要求學生具備較強的抽象思維能力。抽象思維和具象思維不同，是用科學的抽象概念、范疇揭示數學問題的本質，表達認識數學問題的結果。最早在小學階段，學生認識到可以用字母表示數。逐步到高中階段，學生可以使用數學符號語言寫證明過程和解題步驟。這就是抽象思維能力的體現。抽象思維和具象思維是一對孿生子。兩種思維的交互作用、相互影響，會使數學變得異彩紛呈。平面解析幾何是抽象思維和具象思維的交匯處，善加利用這兩種思維方式會使學生對于平面解析幾何的認識上升一個臺階。另外，空間立體幾何中的向量方法也是抽象思維的一個具體應用。

五、轉化

轉化思維在數學的思維方式中也占有極為重要的一席之地。轉化思維是指在解題過程中，通過變形、轉換、運算等方式，把未知與已知結合，向已解決的固定類型問題轉化，從而解決問題的思維方式。轉化思維的前提是，對于現在所能解決的問題要有一個全面的掌握。在此基礎之上，建立已知和未知的聯系相對來講就不是非常困難了。轉化思維一般是把復雜問題變換轉化為簡單問題，把難解的問題變換轉化為容易解決的問題，以生疏化熟悉、復雜化簡單、抽象化直觀、含糊化明朗為基本功能。轉化思維是一種比較難于掌握的思維方式，它既要求對于舊的知識有深刻的理解，又對于新舊知識之間的聯系有所領悟。前者在平時的學習中可以由老師給學生逐步滲透，而后者只能是學生自主思考和探索才能有所收獲。而且學生在學習中也會有這樣的困惑，明明是老師課堂上講過的內容，知識點也是一樣的，課后的練習卻不能照搬照做。這也是知識的在加工過程。學生只有在自主思考之后，變為自己內發的思維方式，才能如臂使指解決問題。

六、建模

數學建模是一種特定的數學思維方式。數學建模是用數學的語言描述實際問題，通過設計數學方法，最終解決實際問題的整個過程。在數學建模的過程中，首先要對所研究的實際問題抽象概況，把干擾因素和次要因素排除，用數學的語言描述所要研究的實際問題，抓住主要矛盾和關鍵因素。第二，利用數學方法建立合適的數學模型，從而把實際問題轉變為模型問題，使實際問題簡單化、形式化、合理化。第三，針對所建立的數學模型，利用有效的數學手法，解決模型問題，并對所得到的解決問題的方法和結論進行分析和數據驗證。如果出現不合理現象，需要對數學模型進行修正補充，甚至重新建立數學模型。最后，經過經驗驗證之后的可靠模型或適用模型，可以用于實踐、評價和預測。數學建模的思維方式其實是一種模式化思維方式，這種思維方式可以深刻的改變人的思維方式和思維習慣，使人的思維具有探索性和外推性。數學建模的思維方式對于現在的高中學生是難能可貴的。

高中數學中的這六種數學思維方式，分類和歸納思維注重對舊的知識整理和分析，類比和抽象是對知識聯系的初步應用，轉化和建模則是知識的探索和創新。這六種思維方式對于學生的能力要求逐步提高，尤其是后兩種思維方式，要求有較強的數學自主意識和數學應用能力。