讓學生跳一跳，夠得著

【摘要】維果茨基的“最近發展區”理論最突出的例子就是“跳一跳夠得著果子”。那么，在我們的實際教學工作中，究竟應該怎樣把握好這個度才能達到這種效果呢？本人結合自己的課堂教學，設計讓學生“跳一跳，夠得著”的教學內容，來詮釋在高一數學課堂教學中如何體現這一理論的實際應用。

【關鍵詞】最近發展區 "高一數學 "課堂教學 "跳一跳

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）09-0142-02

前蘇聯心理學家維果茨基提出：教育對兒童的發展能起到主導作用和促進作用，但需要確定兒童的兩種發展水平，一種是已經達到的發展水平，另一種是兒童可能達到的發展水平，這兩種水平之間的差距就是“最近發展區”。孩子能夠獨立表現出來的心理發展水平，一般都低于他在成人指導下所能夠表現出來的水平。通俗地說，可以比喻為，前者是站著摘果子，后者則是跳一跳，站著夠不著的果子，跳起來就可以夠得著。因此，教育教學目標的設定需要立足于實際，符合學生的認知水平。不同學段的學生，不同層次的學生，其理解認識和分析解決問題的能力是不同的。那么對于一線教師普遍認為難教的高一數學該如何開展有效的課堂教學呢？本人認為可依據最近發展區理論，設置讓學生“跳一跳，夠得著”的教學內容，激發其躍動的熱望，點燃其求知的激情。下面就以復合函數求值域問題為例談談本人在教學中的一些具體做法。

一、讓學生能跳

在這一階段，我把教學內容以任務的形式布置給學生，讓他們去探索完成任務的方法，使他們親歷探究和運用知識的過程，讓學生能夠“跳”起來。例如在講解復合函數求值域問題時，先讓學生回顧初中有關二次函數求最值的內容，并結合二次函數圖像加以形象地講解。在復習回顧后給出例題，讓學生結合初中所學進行求解，為本課打好“開門關”。

例1：求二次函數y=x2-2x+3的值域。

分析：由于定義域為R，學生根據初中所學的知識，很容易就求解出該函數值域為[2，+∞）。之后我將該題稍微做了下變動，增加了限制條件x∈[-1，3]，即：

變1：求二次函數y=x2-2x+3，x∈[-1，3]的值域。

很多學生會根據初中所學直接將兩端點代入求出，結果發現代入求出的是兩個相同的值，這就引起了學生的反思：在給定的區間內求值域是否將兩個端點直接代入求出即可？與原有的知識有了可供碰撞的點。很快，大多數學生想到畫函數圖像，結合函數圖像來解決，發現圖像一畫，這答案立馬就呼之欲出了。由此，學生想到單單將兩端點代入直接求值域有很大的局限性，結合圖像更直觀，可見初中所掌握的那套方法到高中顯然已經不夠用了，得活學活用。在這當中也無形運用了數形結合思想。在此基礎上，我再將限制條件改為x∈[0，3]，讓學生再次求解，以鞏固所學。

變2：求二次函數y=x2-2x+3，x∈[0，3]的值域。

此時，學生根據之前掌握的內容，不再單純的將兩端點代入求了，而是結合剛才所畫的圖像，很快就得出了答案。由此再引導學生歸納出與二次函數值域相關的量：開口方向、對稱軸和區間，并由此得到二次函數值域的求解方法：配方→圖像→區間內的最值→值域。這樣不僅激發了學生的求知欲，也培養了學生的動手能力和思維能力。

二、讓學生想跳

在這一階段先由學生結合前階段的探究活動提問，教師把問題寫到黑板上，同時還可以叫其他同學來解答，學生回答不完善的地方，教師予以改正，對問題進行講解，以解決學生未解決的問題。這樣既充分發揮了學生的主動性和創造性，又達到了教學的目的。例如：在剛才的二次函數y=x2-2x+3求值域的基礎上，引導學生思考以該二次函數為基本函數，還可以求哪些函數的值域。學生觸類旁通，提出求以y=x2-2x+3為基本函數的復合函數的值域：

例2：求函數y=、y=、y=、y=lg（x2-2x+3）和y=2x-2x+3的值域。

既然是學生自己提出的問題，我就嘗試先讓學生來求解前3題。解答結果顯示，學生對于求y=的值域基本能解答，但對于求y=和y=的值域只有基礎知識掌握扎實的個別學生會。在此，我讓掌握了的學生上臺板演他們的解答過程。學生的解答過程如下（求y=的值域）：

解：設a=x2-2x+3，則y=（a≠0）

∵a=x2-2x+3=（x-1）2+2≥2

∴ 0<≤即0

∴函數y=的值域為（0，]

顯然，學生的解答思路是清晰的，過程也是對的，只是對于用換元法來求解值域這一概念還不明確，過程還不十分完善而已。為此，我在該題的基礎上加以修正補充如下：

解：原函數的定義域為R

令t=x2-2x+3，則y=■（t≠0）

∵t=x2-2x+3=（x-1）2+2≥2

∴0<■≤■即0

∴函數y=■的值域為（0，■]

并指出通過這種方法來求函數的值域，稱為換元法。注意到學生在求出t的范圍后是直接將其倒數范圍為原函數的值域，還未真正體會到這是二次函數和反比例函數復合的函數，特別是求反比例函數的值域是不能直接倒數過來求其范圍的。為此，我又將原題稍微做了下變動，將這個二次函數改為x2-2x-3后讓學生再次求值域。由于只是將二次函數的常數項做了變動，很多學生躍躍欲試，認為很是簡單，直接根據剛才的解答過程依樣畫葫蘆即可。但在實際的解答過程中有部分學生發現，求出換元后的函數值域將其直接倒數倒過來行不通了，出現問題了，有可能將范圍擴大了，于是學生立馬想到得結合反比例函數的圖像來解答了。圖像一畫，發現如果直接將其倒數的范圍作為值域得出的是（-∞，-]，而結合圖像得出的卻是（-∞，-]U（0，+∞），很明顯兩者答案不一致，結合圖像求出的才是正確的，于是有部分學生就下結論說不能直接求倒數的范圍，只能結合圖像來求。而此時有個別基礎好的學生卻有不同的聲音了，說是可以直接求倒數的范圍，只不過剛才在求解的過程中大家都忘了換元時所換的元本就有范圍限制了的y=（t≠0），那么t的實際范圍應該是t≥-2且t≠0，即-2≤t<0或t>0，這樣一來求其倒數的范圍也應該是（-∞，-]U（0，+∞）。看來學生已經不單是得到了“魚”，也已經會“漁”了。一題多解，舉一反三本就是我們教學所期望達到的效果。

通過該題的解答，讓學生歸納求復合函數的值域的基本步驟：求原函數的定義域→構造形如y=，設t=g（x），則y=（t≠0）→求t=g（x）的值域→求y=值域→原函數的值域。如此一來，既達到了完善學生知識結構的目的，又起到了讓學生樂于探究的良好效果。

三、讓學生會跳

這一階段，學生操作將任務完成，使知識內化為學生個人的能力。此時老師可通過巡視把握學生的學習情況，對學生的學習活動進行指導，當然，老師的指導要注意“指”在緊要處，“導”在疑難點，要特別注意指導第一階段未完成任務的學生，要充分關注學困生，重要環節關鍵時刻要給予特殊的幫助，不讓他們成為被動的旁觀者。例如在剛才解答過程補充完整并得出基本的解題步驟后，讓學生再來求函數y=的值域，學生會覺得簡單許多，即便是該題在原先求函數y=的基礎上已有所變動，有了剛才的解答過程與教師講解的知識，學生再一次來完成任務，可謂是“輕車熟路”了。完成任務后與教師給的解答過程相比較，學生再一次嘗到了成功的巨大喜悅，大大地提高了學習的興趣，并產生了“我也想來試一試”的強烈的欲望。

四、讓學生善跳

在這一階段，學生已基本掌握教學內容，教師可以設計新任務，要求給學生綜合應用的機會，給學生創新實踐的機會。例如讓學生來求例2中剩下的二次函數和指、對數復合的函數的值域：

例2：求函數y=lg（x2-2x+3）和y=2x-2x+3的值域。

（指定兩名學生上臺解答）

解：（1）原函數的定義域為R

令t=x2-2x+3，則y=lgt（t>0）

∵t=x2-2x+3=（x-1）2+2≥2

又y=lgt在其定義域上單調遞增

∴lgt≥lg2即y≥lg2

∴函數y=lg（x2-2x+3）的值域為[lg2，+∞）

解：（2）原函數的定義域為R

令t=x2-2x+3，則y=2t

∵t=x2-2x+3=（x-1）2+2≥2

又y=2t在其定義域上單調遞增

∴2t≥22=4即y≥4

∴函數y=2x-2x+3的值域為[4，+∞）

解答過程完全正確，毫無遺漏，可見學生已掌握了復合函數值域的求解。

然后在此基礎上增加了一題指對數復合的函數求值域的提高題：求函數y=lg（2-3x）的值域。經過前面的逐次鋪墊，學生對于求解該題也不會覺得那么難了，能夠稍加思索加以求解。這一過程是由每個學生獨立完成的，學生在解答過程中如果碰到了問題可促使他們多加思考，這樣既讓學生鞏固了書本知識，培養了學生的思考能力，也培養了他們的學習積極性和良好的學習習慣。

通過以上教學后，學生對于復合函數求值域問題基本都已能掌握，收到了預期的教學效果。課后，一位曾在初中階段對數學學習失去信心的學生跑來開心地對我說：“老師，上完今天這節課后，我以最快的速度完成了今天的作業，我以前從沒在這么短的時間內就能完成數學作業的。今天的作業真是太簡單了。”其實當日的作業并不是如她所說的那么簡單的，也有一定的中偏上的難題的。看著學生那開心的笑容，甚感欣慰。因而，我們在平時的教學過程中，既要設置高水平的問題，又要不斷地搭建一些腳手架， 讓學生“跳一跳，夠得著”， 從而采摘到自己心儀的果子，創設學生新的發展區。

參考文獻：

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