等差等比數列的證明策略

【摘 要】對等差數列和等比數列的考查是近年來高考的一個新熱點。本文從近年來高考試題入手，分析此類題型的三種解法。

【關鍵詞】定義法 函數法 等差中項法

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）26-0141-02

等差數列和等比數列是數列的基礎，對數列性質的考查成為近年來高考的一個新熱點。此類問題難度看似不大，但教材上涉及不多，加之學生平時總結不夠，所以得分并不理想。本文從近年來高考試題入手，分析此類題型的解法。

一 定義法

要證明一個數列是等差（比）數列，由定義，只需證明它的后一項和前一項的差（比）是同一個常數，即an+1-an=

d（ ）。

例1，（2008湖北）已知數列{an}和{bn}滿足：a1=λ，

an+1= an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中λ為實

數，n為正整數。試判斷數列{bn}是否為等比數列，并證明你的結論。

解：因為bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+2]=

（-1）n+1（ an-2n+14）

= （-1）n（an-3n+21）=- bn

又b1=-（λ+18），所以當λ=-18時，bn=0（n∈N*）些時{bn}不是等比數列；當λ≠-18時，b1=-（λ+18）≠0

由上可知bn≠0，∴ （n∈N*）。

故當λ≠-18時，數列{bn}是以-（λ+18）為首項，

為公比的等比數列。

二 函數法

等差數列的通項公式an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）是關于n的一次函數，利用此性質，在高考中，我們不僅可以解決選擇填空題，還可以進一步解決解答題。

例2，（2006年山東）已知數列{an}中，a1= ，點（n，

2an+1-an）在直線y=x上，其中n=1，2，3…。

（Ⅰ）令bn=an+1-an-1，求證：數列{bn}是等比數列；（Ⅱ）求數列{an}的通項；（Ⅲ）設Sn、Tn分別為數列{an}、{bn}

的前n項和，是否存在實數λ，使得數列 為等差數

列？若存在，試求出λ，若不存在，則說明理由。

分析：本題第一問可利用定義法證明，第二問可在第一問的基礎上由累加法求出，關鍵難點在第三問。

解：（I）由已知得a1= ，2an+1=an+n

，

∴

∴{bn}是以 為首項，以 為公比的等比數列。

（II）由（I）知， ，

∴ ，

將以上各式相加得：上式從1到n-1累加得：

an-a1-（n-1）=

∴an=a1+n-1

n-2

（III）∵Sn=a1+a2+…+an= +（1+

2+…+n）-2n

∴

∴

又數列 是等差數列的充要條件是 關于n

的一次函數，

∴當且僅當 ，即λ=2時，數列 為等差

數列。

三 等差中項法

要證明{an}為等差（比）數列，只需證明它的任意三項an，an+1，an+2成等差（比）數列，即2an+1=an+an+2（an+12=an·an+2）

例3，（2006年福建）已知數列{an}滿足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N+）。

（I）證明：數列{an+1-an}是等比數列；（II）求數列{an}的通項公式；（III）若數列{bn}滿足4b1-14b2-1…4bn-1=（an+1）bn（n∈N*），證明{bn}是等差數列。

分析：本題和例2相仿，第一問可用定義法證明，第二問可在第一問的基礎上由累加法求出，這里從略。

證明（III）：由（I）（II）可得：∴an=2n-1（n∈N*）

∵4b1-14b2-1…4bn-1=（an+1）bn，即4（b1 +b2+…+ bn）=2 nbn

∴2[（b1+b2+…+bn）-n]=nbn （1）

2[（b1+b2+…+bn+b n+1）-（n+1）]=（n+1）bn+1 （2）

（2）-（1），得2（bn+1-1）=（n+1）bn+1-nbn

即（n-1）bn+1-nbn+2=0 （3）

nbn+2-（n+1）bn+1+2=0 （4）

（4）-（3），得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，即bn+2-2bn+1+bn=0

∴bn+2-bn+1=bn+1-bn（n∈N*），

∴{bn}是等差數列。

〔責任編輯：龐遠燕〕