淺議平面向量與其他知識(shí)的交匯

2014-04-29 00:00:00顧國(guó)華

學(xué)園 2014年26期

【摘要】本文分析了各類考試試題中的平面向量與三角函數(shù)、數(shù)列、函數(shù)、不等式及圓與圓錐曲線等問題的結(jié)合。

【關(guān)鍵詞】平面向量交匯

【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）26-0133-02

由于平面向量融數(shù)、形于一體，成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)交匯和聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介，主要體現(xiàn)在與三角函數(shù)、數(shù)列、函數(shù)、不等式及圓與圓錐曲線等問題相結(jié)合，構(gòu)成綜合能力較強(qiáng)的填空或解答題，考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想，所以解題要點(diǎn)是運(yùn)用向量知識(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解。

一平面向量與三角函數(shù)的交匯

在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計(jì)的試題層出不窮，在各類考試中經(jīng)常能看到這類題，常以解答題的形式出現(xiàn)，考查的知識(shí)點(diǎn)有平面向量的平行與垂直、模、數(shù)量積等。對(duì)這類題目的處理方法是利用向量的相關(guān)知識(shí)，直接把題目轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)題進(jìn)行求解。

例1，已知向量，。若

，求的值。

分析：由向量數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)式，化簡(jiǎn)求值。

解：

，

∵ ，∴ 。

，

。

二平面向量與數(shù)列的交匯

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查知識(shí)，近年來各類測(cè)試也常出現(xiàn)以數(shù)列為載體、向量為背景的綜合題，主要考查向量、數(shù)列各知識(shí)分析問題和解決問題的能力。

例2，已知點(diǎn)A（1，0），B（0，1）和互不相同的點(diǎn)P1，P2，P3……Pn……，滿足，其中{an}、{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若P1是線段AB的中點(diǎn)，求a1、b1的值。

解：∵P1是線段AB的中點(diǎn)，∴ ，又

，且、不共線，由平面向量基本定理，

知：。

三平面向量與函數(shù)的交匯

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)之一，它也是綜合性很強(qiáng)的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，與平面向量的結(jié)合常是利用向量的坐標(biāo)表示中的內(nèi)容，如數(shù)量積、模等，列相關(guān)函數(shù)解析式。

例3，已知平面向量，。（1）證

明：；（2）若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使，，且，試求函數(shù)關(guān)系式k=f（t）。

分析：（1）只需算數(shù)量積等于0；（2）由向量垂直得數(shù)量積等于0，從而得關(guān)于t和k的等量關(guān)系式。

證明（1）∵ ，∴ 。

解（2）：∵ ，，且，

∴

，

又，，，

∴ ，

∴ 。

四平面向量與不等式的交匯

近年各類考試不時(shí)考查平面向量與不等式有關(guān)知識(shí)的結(jié)合，這些題實(shí)際上是以向量為載體考查不等式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積等知識(shí)將問題轉(zhuǎn)化為不等式的問題。

例4，已知在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），M（1，1），N（0，1），Q（2，3），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足不等式0≤ ≤1，0≤ ≤1，求的最大值。

解：，，，

∴ ，

∴ ，即在條件下，求z=2x+3y

的最大值，由線性規(guī)劃知識(shí)，當(dāng)x=0，y=1時(shí)，zmax=3。

五平面向量與圓錐曲線的交匯

平面向量具有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，它可以把幾何圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，變抽象的邏輯推理為具體的向量運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的結(jié)合，用向量處理有關(guān)直線平行、垂直、線段相等、共線、共點(diǎn)以及較的度數(shù)等問題。

例5，橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)

于焦點(diǎn)F（c，0）（c>0）的準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A，OF=2FA，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P﹑Q兩點(diǎn)。（Ⅰ）求橢圓的離心率與方程；（Ⅱ）若，求弦長(zhǎng)PQ。

解：（Ⅰ）由題意，可設(shè)橢圓的方程為。

由已知得，解得，。

所以橢圓的方程為，離心率。（Ⅱ）由（1）可得A（3，0）。設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-3）。

由方程組，得。

依題意，解得。

設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2），則：

（1）

（2）

有直線PQ的方程得，，

于是（3）