自動控制原理課程中的數學問題

【摘 要】自動控制原理課程是高校電氣工程及其自動化專業的專業基礎課程，扎實的數學基礎是學好該門課程的重要條件。本文闡述了高等數學和復變函數與積分變換兩門數學基礎課程與自動控制原理課程的關聯和銜接，并提出了相應的教學方法探討。

【關鍵詞】自動控制原理 高等數學 復變函數與積分變換

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）26-0005-02

自動控制原理是國內各高校本科電氣工程及其自動化專業的重要專業基礎和必修課程，其在專業課程體系中占據著承前啟后的作用。該課程中抽象的理論概念多、數學含量大，高等數學和復變函數與積分變換等課程是自動控制原理課程的數學基礎，必然成為學好自動控制原理的重要先修課程。其中涉及較多的包括高等數學課程中的微積分和線性微分方程，復變函數與積分變換課程中的復數計算和拉普拉斯變換等內容。本人根據多年的教學經驗，較為詳細地總結了自動控制原理課程中的數學問題以及相應的教學方法。只有做好數學基礎與自動控制原理課程的知識銜接，才能保證學生的學習積極性，提高教學效率和效果。

一 自動控制原理與高等數學的關聯

在電氣工程及其自動化等電類工科專業中，高等數學的作用日益提升。自動控制原理課程中所用高等數學基礎主要有以下兩方面。

1.微積分

高等數學課程中的微積分知識貫穿了自動控制原理課程的始末，滲透到數學模型、時域分析法、根軌跡、頻域分析、校正以及離散系統、非線性控制、狀態空間等各個章節。學生對微積分的學習是在大學的第一個學期，所以在課程教學過程中如果遇到函數求導或者積分計算時，不是直接給出結果，而是通過板書的形式給出具體的計算過程。這樣可以讓學生更清楚地理解問題的思路和結果的產生過程。而對于復雜的微積分計算，為了不影響課程的進度和學時限制，即使直接給出數學結果也會讓學生在課后對其進行驗算。這樣不僅讓學生認識到數學基礎在自動控制原理課程中的重要性，也會進一步促進學生用數學的思維來理解該門課程中的后續知識。

2.線性定常微分方程

在控制系統時域數學模型一章中，首先學生接觸到的就是線性微分方程，這一部分也是高等數學下冊的重點教學內容。這一節課的教學重點就體現在理論與應用的聯系方面，如何將以前學過的微分方程與電路、機械等實際的系統結合起來。例如R-L-C無源電路和彈簧阻尼模塊的時域數學模型就可以用二階定常微分方程來描述，讓學生重點理解方程中的輸入和輸出變量。

3.冪級數及其求和

Z變換是學習線性離散系統的數學工具，也是學好離散系統分析和校正的基礎。Z變換的基本方法是利用定義得到的級數求和法，正好也是高等數學下冊的內容。而采用冪級數法（綜合除法）進行Z反變換與部分分式展開等方法相比較具有計算量小、直觀等優點。所以在線性離散系統分析這一章的教學過程中，我們會盡力引導學生回憶冪級數及其求和方法。

二 自動控制原理與工程數學的關聯

復變函數和積分變換理論一直伴隨著科學技術的發展并為之提供方法和工具，被電力系統、通信與控制等許多領域應用。在自動控制原理課程中，涉及的復變函數與積分變換的數學基礎非常多，而這門工程數學課程又是考查的課程，所以在教學過程中就會進行適當的教學改革，增加復習的內容。

1.拉普拉斯變換

在學習控制系統的數學模型時，首先接觸到的就是拉普拉斯反變換方法求解線性微分方程。所以在學習數學模型知識之前，利用至少一個學時的時間對傅里葉變換和拉氏變換的知識作一個有針對性的復習，使兩門課程知識融會貫通。尤其是拉普拉斯反變換，我們會根據象函數極點為相異實根、共軛復根、重根三種情況分別求解反變換后的原函數，使學生更好地學習線性定常系統微分方程的求解。傳遞函數是自動控制原理課程的主要數學模型，拉普拉斯變換對于理解系統的傳遞函數也有非常重要的作用。

2.傅里葉變換

傅里葉變換是拉普拉斯變換的基礎，也是線性系統頻域分析法中數學模型頻率特性的理論依據。頻率特性的概念是通過在正弦輸入作用下穩態解描述系統動態響應過程而引出的，筆者在給電類專業學生講授頻率特性概念時，會根據傅里葉變換的物理意義，介紹其在自動控制原理課程中的應用，進而使學生對這兩門課程的聯系有了更深的認識。

3.柯西幅角原理

奈奎斯特穩定判據是線性系統頻率域判定穩定性的有效方法，其數學基礎則為工程數學里的柯西幅角原理。通過使自動控制原理的閉環傳遞函數與幅角原理的原函數相對應，

并假設包圍區域為整個s左半平面，將幅角原理的包圍的零極點個數之差轉換為s左半平面開環極點與閉環極點個數之差，最終得到奈奎斯特穩定判據。

三 結束語

自動控制原理是電類等專業的專業基礎課，高等數學和工程數學是大專院校各工科專業的重要基礎課，也是自動控制原理課程的先修課程。本文主要探討了自動控制原理課程中的數學問題、知識銜接問題以及相關教學方法。

參考文獻

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〔責任編輯：林勁〕