《分式方程（二）》教學案例

教材分析：本節課選自北師大版八年級下冊數學第三章《分式》第4節第二課時。

教學目的：1.經歷探索分式方程解法的過程，會解可化為一元一次方程的分式方程，會檢驗根的合理性。

2.經歷“求解-解釋解的合理性”的過程，發展學生分析問題、解決問題的能力，培養學生的應用意識。

3.在活動中培養學生樂于探究、合作學習的習慣，培養學生努力尋找解決問題的進取心，體會數學的應用價值。

教學重點：解分式方程的步驟。

教學難點：分式方程中產生增根的原因。

教學過程：

情景引入

1、分式方程的概念？

2、上節課我們從實際問題中得到這樣一個分式方程 ，其中x表示第一塊試驗田每公頃的產量，大家想知道x的值是多少嗎？

這節課，我們的主要任務就是學習分式方程的解法。我們不妨先來回憶一下我們曾學過的一元一次方程的解法步驟。

（學生回答：去分母，去括號，移項，合并同類項，把未知數的系數化為1）

探索新知

教師出示例題：例1 解方程： =

（學生六人一組，本班共48人，分8組。分組探討如何解出這個分式方程，其中一人匯報本組結果。教師觀察每組的情況，并解決學生探討問題中的困惑。）

解答具體情況如下：

1、其中有2組學生做法一樣，他們通過回憶一元一次方程的做法，觀察此方程，所以他們想先去分母，經過他們的討論，他們先找出最簡公分母x（x-2），根據等式的性質，等式的兩邊同時乘以這個最簡公分母，去分母得x=3（x-2），去括號得x=3x-6，移項合并同類項得-2x=-6，把未知數的系數化為1，即x=3。

2、有2組學生采用交叉相乘的方法得到x=3（x-2）后面步驟和上面的一樣。

3、有1組學生利用小學比例知識把該方程寫成1：（x-2）=3：x，然后利用外項之積等于內項之積得到x=3（x-2），后面步驟和上面一樣。

4、有3組無從下手。

（教師總結：同學們的做法都很好，第一種解法先去分母是常規做法，這種解法的關鍵是找最簡公分母，兩邊同時乘以最簡公分母以達到去分母的目的。第二種解法交叉相乘的方法一定要注意等式的左右兩邊分別是一個獨立的整體時才可使用。第三種利用比例性質的解法也是需要等式的左右兩邊分別是一個獨立的整體時才可使用。教師強調在同學們的做題過程中，還差一步：檢驗，把x=3代入方程的左邊=1/（3-2）=1右邊=3/3=1，左邊=右邊，所以x=3是原方程的根。教師在黑板上展示完整的解法。并且師生一起總結解分式方程的一般步驟。）

（教后反思：學生能夠有三種方法來作答，這個結果讓我很意外，之前我可能低估他們了，當然也有3組學生無從下手，這部分學生屬于本班中下游學生，基礎比較差，在下面的問題探討中，教師需多多關注他們。）

教師出示例題：例2 解方程：

（同樣學生六人一組，分組探討如何解出這個分式方程，其中一人匯報本組結果。教師觀察每組的情況，了解學生的思路。）

解答具體情況如下：

1、有3組學生找出最簡公分母2x，兩邊同時乘2x去分母得960-600=90 x，解出x=4，并且做了檢驗這一步。

2、有1組學生發現600和2還可以約分，因此先化簡得 ，然后兩邊同乘x，去分母得480-300=45x，然后解出x=4，其中有一組學生忘記檢驗。

3、有1組學生先化簡得 ，然后根據分式的加減法把等式的左邊合并得 ，去分母得150=45x，然后解出x=4，也做了檢驗。

4、有1組學生先化簡得 ，然后根據分式的加減法把等式的左邊合并得 ，所以 ，理由是根據小學知識除數等于被除數除以商，即x=4，也做了檢驗。

5、有2組學生還是無從下筆。

（教師總結：先肯定同學們認真思考得到的解法，其中特別提到先化簡可以使得運算更簡單，也會減少同學們計算的出錯率。當然還是需要強調檢驗這一步驟。）

（教后反思：學生做法的多樣性讓這節課變得精彩。通過解這個分式方程，學生初步掌握分式方程的步驟，以及了解分式方程解法就是通過方程兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，轉化為整式方程的思路。但還是有部分學生不能掌握解題方法，課后得花點時間給他們輔導。）

議一議 解方程 （先讓學生獨立思考完成）

大部分學生能夠通過之前的方法解得：x = 2

檢驗：將x = 2代入原方程中，分母為0，那怎么辦？帶著問題思考。

（教師總結： 在這里，x=2不是原方程的根，因為它使得原分式方程的分母為零，我們稱它為原方程的增根。產生增根的原因是，我們在方程的兩邊同乘了一個可能使分母為零的整式。因為解分式方程可能產生增根，所以解分式方程必須檢驗。）

（教后反思：通過這個分式方程的討論，可知增根和根的區別，以及分式方程驗根的原因。再次強調解分式方程一定要檢驗。）

三、鞏固練習

解方程：（1） = ；（2） + =2.

（學生自己獨立完成，兩個學生板演。教師作評講。）

（教后反思：由于有了例1，例2的討論，學生在完成這兩個練習的時候，第一小題有直接去分母的，也有交叉相乘的，第二小題也有同學是左邊先分式相加再去分母的，說明學生對分式方程的解題步驟還是比較熟悉，但是也有學生忘記檢驗。并且不少學生計算出錯。這個環節設置的目的是讓學生進一步熟悉分式方程的解法。注意一些細節問題。安排兩位同學上黑板板演，讓學生有學習他人做法與評價別人的機會。這樣也就有了課堂檢測的時間。）

四、學習小結

（學生思考之后，自己總結）

學生能夠回答出解分式方程的步驟是：去分母，去括號，移項，合并同類項，把未知數的系數化為1，特別注意的是需要檢驗。

五、問題解決

學生自己完成我們這節課一開始提出的問題解方程 ，（在計算中提醒學生可以先化簡。）解得x=4500，即第一塊試驗田每公頃的產量4500千克。

（教后反思：本環節的設置是為了承前啟后，本節一開始是以上一節課的實際問題得到的方程出發想去探究它的解，帶著這個問題完成今天的教學任務分式方程的解法。也起到一個前后呼應的作用，有助于整節課的完整性。）

六、布置作業

1、書 P90習題3.7

2. 拓展作業：若方程 會產生增根，試求k的值。

（作業采取分層布置的方式，為了照顧到不同層面的學生。）

七、教后反思

本次課采用了問題情景引入，意在引導學生體會方程來源于實踐應用于實踐的必然過程。而在后面又引導學生利用今天所學知識解決情景引入的問題，做到前后呼應。根據課改精神以學生為主教師為輔的原則，本節課在探索分式方程的解法上給了學生一個完全自由的空間，盡管還是有部分學生不能及時掌握，但是相信大部分學生通過自己探索得出的解分式方程的步驟印象還是很深刻的。學生在經歷知識的發現過程中，培養了學生探究、歸納的能力。當然本節課除了掌握分式方程解法步驟外，還要注意強化驗根的必要性。本節課也有些缺憾，有部分學生不能在課堂上及時掌握解方式方程的步驟，教師打算在課后加以輔導，并且布置相應的作業加以練習鞏固。不少學生在計算上出錯，不夠細心，在今后的教學中還需要加強鍛煉運算能力。