論中國古代的數論

摘要：數論就是一門研究整數性質的學科，它是數學中最古老，最純粹，最優美的一個領域。本文探討了中國古代數論的歷史和發展現狀，論述了中國古代數論在數學發展中的重要影響。

關鍵詞：數論古代數論整數中國剩余理論

素有數學王子之稱的德國19世紀數學大師高斯（Gauss，1777-1855）就曾說過：數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。由此可見數論在數學中的重要地位。正因為正整數的性質深刻復雜、難以琢磨，并涉及到數學的實質與本原，因此數論長期以來一直被認為是一門優美漂亮，純之又純的數學學科。

（一） 算籌

現存資料中，算籌數字的記數法則最先出現在《孫子算經》卷上，而《夏侯陽算經》更為完整：“一從十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。滿六以上，五在上方。六不積算，五不單張。”因此算籌數字分縱橫兩式。

數字： 1 2 3 4 5 6 7 8 9

縱式：

橫式：

用上述符號，以及用空位表零，則任何一個自然數都可以表示出來，比如1991便是，它完全采用十進位置值制，這是當時世界上最簡便的計算工具，最先進的記數制度，比古巴比倫的六十進位置值制方便，比古希臘、羅馬的十進非位置制先進。

（二）九九表與整數乘除法則

九九乘法表在春秋時期已經廣泛流傳。乘除法法則要用到九九表。《管子》與劉徽都談到伏羲作九九之術。九九之術就是九九表。古代的九九表從“九九八十一”起到“二二如四”止，故名。《韓詩外傳》說齊桓公設庭燎招賢，過了一年，沒有一個人來。于是東野有以“九九”見者，桓公使戲之曰：“九九足以見乎？”鄙人曰：“……夫‘九九’薄能耳，而猶禮之，況賢于九九者乎！……桓公曰：善。”乃固禮之。四方之士相導而至矣。說明在春秋時期乘除算法已經是家喻戶曉的常識。

中國最早的數學典籍《周髀算經》（至晚公元前1世紀），用數學的方法闡明蓋天說和四分歷法的數理天文文學著作。它記載了西周杰出的政治家、軍事家、思想家，文王之子、武王之弟周公（公元前11世紀）與大夫商高關于測量的一段對話，其中提到：勾廣三，股修四，徑隅五。這應該是（3，4，5）這組最小的勾股數的首次記錄。在《周髀算經》里還敘述了周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀）的一段對話：“ 以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得斜至日。”此即勾股定理。

根據《周髀算經》記載，陳子求斜日的方法應用了完整的勾股定理。《九章算術》[1]勾股章明確提出了勾股術：勾股術曰：勾、股各自乘，并，而開方除之，即弦。又，股自乘，以減弦自乘，其余，開方除之，即勾。又，勾自乘，以減弦自乘，其余，開方除之，即股。這依次是

c=a2+b2

a=c2-b2（1）

b=c2-a2

勾股數組，又稱整數勾股形。是指滿足（1）式的所有正整數解。《九章算術》勾股章“二人同所立”、“二人俱出邑中央”問已經使用了勾股數通解公式。

劉徽說：“此以南行為勾，東行為股，邪行為弦。并勾弦率七。”此問設（c+a）：b=7：3。若以m表示并勾弦，n表示股率，即（c+a）：b=m：n，術文便是：a：b：c=112（m2-n2）：mn：112（m2+n2）。（2）

現代數論證明，若互素，則（2）式就是勾股數組的通解公式。而在這個題目中，m：n=7：3，在后者中m：n=5：3，其中的m，n，皆互素，說明《九章算術》的編纂者對（2）作為勾股數組的通解公式的條件已有某種認識。

在《孫子算經》里，提到一個“物不知數”的問題：

今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？

《孫子算經》的作者不詳，一般認為這是公元4世紀（東晉）的作品，比孫武（約公元前535—）的《孫子兵法》要晚得多。用同余的語言來表述“物不知數”問題就是

x≡2（mod 3）

x≡3（mod 5）

x≡2（mod 7）（3）

《孫子算經》的解法是

N=2×70+3×21+2×15-2×105=23，

其根據是：70=2×5×7≡1（mod 3），21=3×7≡1（mod 5），15=3×5≡1（mod 7）。可見《孫子算經》的作者在一定程度上明白了下面這個定理。

若Ai（i=1，2，……n）是兩兩互素的正整數，Ri

ki=n1j=1Aj1Ai≡1（mod Ai），i=1，2，……n，

則N≡n1i=1Rikin1j=1Aj1Ai（modn1j=1Ai）（4）

這是滿足上述同作方程組最小正整數。書中還指出了關于這3個模的一般同余方程組的求解方法，其中余數2，3和2可以換成任意數。這是孫子定理的特殊形式，唐代僧人天文學家一行（683—727）曾用此法制訂歷法，但其更一般的方法要到宋代才由秦九韶在其名著《數書九章》[2]（1247）里給出。對任意的正整數mi和整數bi（1≤i≤k），秦九韶考慮了同余方程組

x≡b1（mod m1）

……

x≡bk（mod mk）

中國剩余定理：設

（mi，mj）=1（i≠j），m=m1……mk，m=miMi（1≤i≤k）

則同余式組（3）對模有唯一解

x≡M’1M1b1+……M’kMkbk（mod m），其中M’1Mi≡1（modmi），1≤i≤k.

中國剩余定理[3]亦稱孫子定理，按照中國數學家潘承洞（1934—1997）的說法，西方人之所以命名為中國剩余定理，是因為中國古代數學家貢獻的著名定理僅此一個，可謂是一種輕視。然而，遠在孫子之前的秦朝末年，便有了中國剩余定理的特例：韓信點兵。有兵一隊，若列成5行縱隊，則末行1人；6行縱隊，則末行5人；成7行縱隊，則末行4人；成11行縱隊，則末行10人。求兵數？值得一提的是，秦九韶（1202或1208—1261）字道古，在杭州浙江大學附近的西溪路上，曾有一座橋叫道古橋，就是為了紀念這位13世紀的數學家。

初等數論是數論中不求助于其他數學學科的幫助，只依靠初等的方法來研究整數性質的分支。比如中國古代有名的“中國剩余定理”，就是初等數論中很重要的內容。

參考文獻：

[1] 王工一.論《九章算術》和中國古代數學的特點[J]. 麗水學院學報，2006（02）.

[2] 孔國平.《數書九章》中的一次同余式理論[J].北京師范大學學報（自然科學版），1988，（02）.

[3] 桂建明.中國剩余定理及其應用[J].零陵學院學報，2005，26（2）：138-140.