利用高等數學解決曲線的切線問題

摘 要：利用導數的幾何意義，闡述了如何解決切線問題，給出了求曲線切線方程的方法，體現了導數與微分在高等數學中的一個重要應用。

關鍵詞：高等數學；曲線；切線方程

導數是從許多實際問題抽象出來的數學概念，它是研究函數變化的速率問題，它的幾何意義是曲線切線的斜率，我們可以利用導數求曲線切線的斜率，從而求出曲線的切線方程。

函數的導數是增量之比的極限，即

由導數的幾何意義可知，函數y=f（x）在x0處的導數f（x0）是曲線y=f（x）在點M（x，f（x0））處有切線的斜率，也就是說，可導函數 其中θ是切線與x軸正向夾角。

曲線y=f（x）在點（x0f（x0））處的切線方程為：

y-f（x0）=f（x0）（x-x0）

一、利用導數解決初等數學中的切線問題

例1.在曲線y=x3+x-2上求一點，使曲線在該點的切線與直線 4x-y-3=0平行。

解：由曲線y=x3+x-2得導數y′=3x2+1，又直線4x-y-3=0的斜率為4

因為切線與直線4x-y-3=0平行，所以有3x2+1=4，解之得x= ±1，代入曲線y=x3+x-2得到y=0，y=4，故所求點為（1，0），（-1，-4）。

在初等數學中切線的斜率計算是個難點，然而利用導數計算切線的斜率就比較容易了。

二、已知函數是隱函數求切線方程

例2.求曲線ex+y-xy=1在x=0處的切線方程。

解：將方程ex+y-xy=1兩邊同時對x，求導得

ex+y（1+y′）-（y+xy′）=0

即yx=0=-1

從而所求切線方程為：y=-x。

三、已知函數是參數函數求切線方程

結論：求曲線在某處的切線方程，必須知道兩點：（1）曲線在該點處的導數f ′（x0）；（2）切點（x0，y0）。一般的，題中只給出兩個要點中的一個，另一個是要根據已知條件求出來的，再則，如果題目中給出了切點的橫坐標x0，那么縱坐標y0可以通過y0=f（x0）得到。

參考文獻：

[1]柳重堪.高等數學[M].中央廣播電視大學出版社，1999.

[2]黎詣遠.經濟數學基礎[M].高等教育出版社，1998.

[3]張衛梅.經濟應用數學[M].吉林大學出版社，2011.

作者簡介：辛向紅，女，1962年4月出生，本科，就職于阿拉善職業技術學院，研究方向：數學教學。