巧用對稱

摘 要：在解決問題時，對稱有著較為廣泛的應用，但有些對稱性不易察覺，給問題的解決造成了很大的障礙。當我們將它充分挖掘出來加以利用時，就能收到意想不到的效果。

關鍵詞：對稱；集合；橢圓

本文就幾個例子談談對稱的巧用。

1.對于函數，若存在區間[m，n]，使得x∈[m，n]時，f（x）∈[km，kn]，（k∈N*）則稱區間[m，n]是函數f（x）的“k倍區間”。已知函數f（x）=x3+sinx，則f（x）的“5倍區間”的個數是多少？

解析：通過求導可知函數f（x）=x3+sinx在（-∞，∞）上是增函數，又f（x）是奇函數，根據對稱性可知，函數f（x）=x3+sinx與y=5x有三個交點，A（-m，-5m），O（0，0），B（m，5m）（m>0）所以f（x）的“5倍區間”共有[-m，0][-m，m][0，m]3個：

時，線段PQ長度的最小值是4。

切？若存在求出定圓的方程，若不存在，說明理由。

本題探究的定圓看似復雜，但通過對稱性找到圓心，所求問題轉化為求半徑的問題，解決問題的途徑就非常明確了。

作者簡介：鄭春洪，男，1967年4月出生，本科，就職學校：福建省泉州南安第一中學，研究方向：高中數學教學與應用。