“一線三等角”圖形的基本特征

摘 要：通過幫助學生感悟“一線三等角”在相似三角形判定中的重要作用，從而引導學生逐步掌握利用基本圖形來描述和分析問題，建立幾何直觀。

關鍵詞：一線三等角；基本圖形；幾何直觀

在教學中教師要有意識地強化對基本圖形的運用，不斷地運用這些基本圖形去發現、描述問題，理解、記憶結果，這應該成為課堂教學中關注的目標。在相似三角形的判定中，兩組對應角分別相等，則兩個三角形相似，這種判定方法應用特別多。而“一線三等角”這種特殊圖形中，正是因為存在有兩組對應角分別相等，才會一定出現一對相似三角形。在不同背景中，特別是“一線三等角”這種情況在矩形、等腰三角形及等腰梯形中的應用都比較廣泛。

首先看“一線三直角”這一基本圖形在矩形中的應用。

例，在矩形ABCD中，直角三角板MPN的直角頂點P在BC上移動時，直角邊MP始終經過點A，三角板的另一直角邊PN與CD交于點Q，判斷△ABP與△PCQ是否相似，說明理由。

分析：在這個運動變化中，圖形的變化是否會引起結論也發生變化呢？下面在運動變化中去尋找圖形所體現的變與不變。

解：相似，理由如下：如圖，∠B=∠C=90°又∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠2∴△ABP∽△PCQ.

一線三直角基本圖形：

如上圖，此圖形的特點：∠B=∠APQ=∠C=90°，且這三個直角的頂點都在同一條直線上。

這個基本圖形又可以進行變式應用于等邊三角形中。

變式一：△ABC是等邊三角形，D、E分別是AC、BC上的點，且∠AED=60°，那么△ABE∽△ECD.

分析：很容易證明∠B=∠AED=∠C=60°，且這三個角的頂點都在線段BC上，則可判斷兩個三角形相似。

此基本圖形還可以進行變式應用于等腰直角三角形中。

變式二：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，D、E分別是AC、BC上的點，且∠AED=45°，那么△ABE∽△ECD.

最后看“一線三等角”這一基本圖形在一般的等腰三角形中的應用，這種圖形的改變也體現了由特殊到一般的認知過程。

一線三等角基本圖形：

△ABC是等腰三角形，AB=AC，D、E、F分別是AB、BC、AC上的點，且∠DEF=∠B.那么△DBE∽△ECF.

分析：由條件易知，且設∠B=∠C=∠DEF，又∠BEF=∠2+∠C 即：∠1+α=∠2+α∴∠1=∠2∴△DBE∽△ECF.

以上幾個問題解法如出一轍，可謂“同宗共祖”，其思維框架一模一樣，屬于同一幾何模型。最后得到“一線三等角”圖形的基本特征：若∠B=∠C=∠DEF，且這三個角的頂點都在同一條直線上，則可證明△BDE∽△CEF.

“一線三等角”這個基本圖形在近幾年的中考中，也會頻繁地出現。比如，2009年安徽省中考第22題就考到這一基本圖形，所以把握住基本圖形對于學生在復雜的圖形中迅速準確地解決問題起到了關鍵的作用。

總之，圖形在幾何教學中有著不可忽視的作用，幾何問題的解決在很大程度上依賴于幾何圖形。在這里經歷觀察、比較、歸納，得出“一線三等角”圖形的基本特征，并且能夠在不同的背景中認識和把握這個基本圖形。因為準確的圖形不但可以開闊學生的解題思路，為解決問題的思考過程提供很大的幫助，而且還可以幫助學生更好地理解圖形的基本性質、位置關系，建立幾何直觀，從而讓學生在學習過程中感受幾何直觀圖形對幾何學習的重要性。

作者簡介：方大樹，1978，男，就職于安徽省馬鞍山和縣第四中學，研究方向：中學數學教學。