狹義Fibonacci—Lucas數列群

一. Fibonacci數列的組合數形態通項公式和組合數形態前n項和公式.

考察Fibonacci數列：

1，1，2，3，5，8，13… …

和二項式系數：

可以看出在二項式系數中存在Fibonacci數列，猜想其另一個通項公式為組合數形態.

可以歸納得到組合數形態通項公式為：

下面來歸納并證明Fibonacci數列的組合數形態前n項和公式.

可以歸納得到Fibonacci數列的組合數形態前n項和公式為：

得到Fibonacci數列的組合數形態通項公式和組合數形態前n項和公式分別為：

二. 狹義Fibonacci—Lucas數列群的組合數形態通項公式和組合數形態前n項和公式

1.定義：Fibonacci數列1，1，2，3，5，8，13…和Lucas數列1，3，4，7，11，18，29…具有相同的性質：從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即：

上式稱為Fibonacci—Lucas遞推，凡滿足Fibonacci—Lucas遞推關系就稱為Fibonacci—Lucas數列.

定義一組特殊的數列群：

稱為狹義Fibonacci—Lucas數列群.

下面給出前15行：

：

我們可以看出每一縱列都是等差數列，于是可以得到下面的簡化圖：

定義狹義Fibonacci—Lucas數列群的第n行前m項和為：

則

猜想其通項為：

式中的 和 指的是Fibonacci數列的前m-1和前m-2項和.（下面用分別用 和 來表示Fibonacci數列的前n項和公式和通項公式）.

由Fibonacci—Lucas遞推關系式和狹義Fibonacci—Lucas數列群的特點推導其通項公式.

得到其通項為：

我們利用這個式子來證明

所以我們得到了狹義Fibonacci—Lucas數列群的組合數形態通項公式和組合數形態前n項和公式，他們分別是：