淺談解析幾何中的融會貫通

【摘要】在解析幾何教學(xué)中，教師通過對平面圖形轉(zhuǎn)化為解析式、將解析式轉(zhuǎn)化為平面圖形的練習(xí)，簡化解題步驟，降低解題難度，轉(zhuǎn)變解題方式，以達(dá)到使得學(xué)生真正理解和掌握解析幾何的目的。通過引用點到直線的距離和圓的半徑求切線方程、用平移法求拋物線方程、用軸對稱法求直線方程等例子，加深學(xué)生對解析幾何的理解，以達(dá)到增強學(xué)生分析問題、解決問題的能力的目的。通過對數(shù)形實例的相互轉(zhuǎn)換，揭示數(shù)與形之間的密切聯(lián)系，使學(xué)生在遇到解析幾何問題時，能夠做到舉一反三、觸類旁通。

【關(guān)鍵詞】解析幾何；圖形轉(zhuǎn)換；解析式的表達(dá)

解析幾何的教學(xué)中，在完成教學(xué)任務(wù)在同時，相應(yīng)地賦予發(fā)展性的問題，對培養(yǎng)學(xué)生分析問題、獨立思考、鉆研探索等將會有很大益處。

有關(guān)解析幾何的習(xí)題，直接轉(zhuǎn)借平面圖形性質(zhì)，常常可化繁為簡，省略一些代數(shù)運算，涉及圓與直線交、切、離的位置關(guān)系，一般是通過判別式來實現(xiàn)的，但引用點（圓心）到直線的距離和圓的半徑，可收殊途同歸之效，尋求直線 與圓 相切的條件。寫出點O（0，0）到直線 的距離 ，平方后即得 。

下面給出相應(yīng)的習(xí)題。如圖1.1，“已知圓 外一點P（3，2）向圓引兩條切線，求切線方程”

設(shè)過P點的切線方程為 即 依題意得： 即 ， ， 或 ，則切線方程為 或 ，即 。

“已知一個圓的直徑端點分別是A（ ， ）和B（ ， ），求證圓方程為 ”聯(lián)想半圓內(nèi)立在直徑上的圓周角是直角這一性質(zhì)，只要設(shè)出圓上任一點P（x，y）（異于A、B兩點），由此得 有 ，所以圓的方程亦求得。

從這一習(xí)題出發(fā)，試求“xoy 平面上有三點A（0，1）、B（0，q）、C（p，q）所確定的圓與軸交于相異二點，求證方程必有二不等實根，其中p≠0，q≠1。”觀察圖形1.2可知BC⊥AB，導(dǎo)致A、C為圓直徑的二端點。設(shè)P（x，y）為圓上的任意一點， 即 化為 而圓與x軸交于相異二點，令y=0，方程 有不等實根，當(dāng)且僅當(dāng) ，由此可得方程 亦有兩不等實根。

可推薦習(xí)題：（一）“平面上有點A（-1，0）和B（1，0）在圓 上有點P，當(dāng) 取最大值時，求點P的坐標(biāo)。”

圖1.3

如圖1.3：因為OP是動三角形APB的中線，且 ，欲求OP最小時點P的位置，轉(zhuǎn)化為圓外一點O到圓的最大割線的圓外部分的長，從而歸結(jié)為方程組： 的解P的坐標(biāo)。選取靠近O點的 即求出P（ ， ）

（二）“已知一圓經(jīng)過橢圓 的兩個交點，并且以橢圓在y軸正向上的頂點為圓心，求圓與橢圓的交點。”（圖1.4）

圖1.4

依題意得： ，a=2，b=1，c=

所以圓心在（0，1），又因為F（ ，0）在圓上，圓方程為 ，求圓與橢圓的交點轉(zhuǎn)化為求方程組： 的解。

（三）“已知斜率為 的直線經(jīng)過橢圓上一點（2，3）且橢圓的右交點到直線的距離為 ，求 和 的值”

圖1.5

如圖1.5：過（2，3）斜率為 的直線為： 設(shè)橢圓右交點為 ，依題意得： ，得c= 。因為（2，3）在橢圓上，問題轉(zhuǎn)化為求方程組： 的解。

凡屬于平面、空間幾何圖形的研究，平移法具有普遍的意義。基于兩平行線間的距離相等，可運用該性質(zhì)于解析幾何問題。

“在拋物線 上選一點A，使A到定直線L： 的距離為最短。”只需平移直線L，使與拋物線相切，切點即為所求。由此得解題思路：設(shè)A（ ， ）在拋物線 上，那么在A點的切線方程為 ，整理得： ，因為該切線與L平行，所以 ， 代入拋物線方程得： 所以點A（1，0）為所求。依此類推：“求橢圓 上的點P到直線 的距離最大值。”同樣是平移直線 與橢圓相切，獲得（最近，最遠(yuǎn)）的兩個切點M、N均為所求（如圖1.6），其優(yōu)點在于點P數(shù)據(jù)有兩組M（ ， ）和N（ ， ）將同時出現(xiàn)，而運算過程較為簡捷。

圖1.6

關(guān)于幾何圖形的對稱性是較為重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容之一。結(jié)合點的軸對稱圖形，探討“光線從M（-2，3）點射到P（1，0）點，然后被X軸反射，求反射線方程。”其最佳解法應(yīng)做出點M（-2，3）關(guān)于X軸的對稱點 （-2，-3），由兩點式寫出 P直線方程。

另外，引進梯形中位線性質(zhì)，直觀地論證：“以拋物線過焦點F的弦為直徑的圓，必與準(zhǔn)線相切。”剖析圖形。

圖1.7

如圖1.7：四邊形 是一直角梯形，由拋物線定義： ，取得AB中點M作為準(zhǔn)線的垂線，垂足為 ，由 半徑，從而獲證。并由此得出：“以拋物線 的焦半徑為直徑的圓，則必與過拋物線頂點的切線相切。”其解法將是一致的。

在解有關(guān)拋物線的習(xí)題，涉及切線、準(zhǔn)線、對稱軸及焦點、弦等相關(guān)直線，其題類豐富多彩，概覽下列，可及其余。

（一）“求過拋物線 上P（2，4）點的切線的方程，并求過切點和切線垂直的直線方程。”

由拋物線 的切線方程 得切線方程： ，與切線垂直的直線方程： 。

（一） （二）

圖1.8

（二）“過拋物線 的準(zhǔn)線與x軸的交點，作拋物線的二切線，分別交過頂點的切線于A、B兩點，試證A、D、B與拋物線焦點下共圓。”

上述各例從各個不同側(cè)面，論述了多方面開發(fā)學(xué)生智力的問題，針對教學(xué)實際需要，涉及知識均按大綱要求確定，深化基礎(chǔ)知識，基本技能訓(xùn)練，使之所學(xué)知識融會貫通。