數(shù)頻分形守恒定律

摘要：數(shù)頻分形守恒定律表明了當(dāng)今的分形理論已由矛盾的數(shù)學(xué)區(qū)域進(jìn)入到科學(xué)領(lǐng)域， 它進(jìn)一步豐富并奠定了數(shù)頻科學(xué)內(nèi)容和基礎(chǔ)， 繼續(xù)引領(lǐng)世界數(shù)學(xué)分形理論向科學(xué)理論規(guī)范化的主流發(fā)展.

關(guān)鍵詞：數(shù)頻分形守恒定律；分形理論； 科赫（koch）曲線

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）05（c）-0000-00

今天，數(shù)頻分形守恒定律的誕生面世，標(biāo)志著當(dāng)今十分風(fēng)靡和活躍于世界的分形理論開始有了科學(xué)的基礎(chǔ)，開始有了數(shù)頻科學(xué)的規(guī)范. 既然美國(guó)物理學(xué)大師約翰·惠勒講：今后誰(shuí)不熟悉分形，誰(shuí)就不能被稱為科學(xué)上的文化人，那么今后誰(shuí)不研究掌握數(shù)頻分形守恒定律，無(wú)異于是分形科學(xué)上的盲瞽者，正如離開牛頓的力學(xué)而妄談力一樣不置可否.

數(shù)頻分形科學(xué)建立在n→∞， lim1/n≠0的定律上，而當(dāng)今仍以美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德布羅特（B.B.Mandelbrot）首先提出的分形理論為代表則是建立在n→∞，lim1/n=0這一悖論基礎(chǔ)上，其中科赫曲線又名雪花分形曲線的結(jié)論“雪花分形的周長(zhǎng)無(wú)窮大而包圍的面積卻是有限的”就是曾經(jīng)長(zhǎng)期存而未解決的典型悖論之一.現(xiàn)在看來(lái)，這一悖論在于違背了數(shù)頻分形守恒定律所致. 作為n→∞，lim1/n≠0定律的一個(gè)應(yīng)用，有下面的數(shù)頻分形守恒定律.

數(shù)頻分形守恒定律 單位量可以無(wú)窮分形而成的單位點(diǎn)之極限和等于單位量，也可以有限次分完且所有分形的單位點(diǎn)之和等于單位量.

所謂單位點(diǎn)就是單位量上任意一點(diǎn)，單位量雖然可任意分，但這些所有分點(diǎn)的和等于單位量.這就表明單位量可無(wú)窮分的極限就是單位點(diǎn)而終止.否則單位點(diǎn)若繼續(xù)可無(wú)窮分就會(huì)出現(xiàn)所有的分點(diǎn)之和將超過單位量，或者單位點(diǎn)為零，這都與單位量是標(biāo)量相矛盾.

記為n →∞， n lim1/n=1≠0.

數(shù)頻單位測(cè)不準(zhǔn)原理 單位是標(biāo)量，單位點(diǎn)是測(cè)不準(zhǔn)的標(biāo)量.

單位量可以一分為二而分完，也可以一分為三而分完，……，這恰恰表明單位點(diǎn)無(wú)論多么小都不為零，單位量可被分完的點(diǎn)或線或體等都是以不同單位點(diǎn)而終止.事實(shí)上，直線上任一點(diǎn)和它彎曲后的任一點(diǎn)沒有區(qū)別，在n→∞時(shí)，lim（1/3）^n與lim（1/4）^n也沒有單位點(diǎn)的區(qū)別.單位量分的次數(shù)越少，那么分量距離單位點(diǎn)差別就越大；反之，次數(shù)越多分量就接近單位點(diǎn)，但次數(shù)就越不精確.數(shù)頻單位點(diǎn)就是不因分量次數(shù)變化時(shí)而無(wú)實(shí)質(zhì)變化的點(diǎn)，或稱為單位點(diǎn)的區(qū)域.只要進(jìn)入或接近單位點(diǎn)區(qū)域則只有次數(shù)的變化而無(wú)實(shí)質(zhì)的點(diǎn)變化.例如單位線段一分為二后，將其中一半再次一分為二，依次進(jìn)行，……，在n=40時(shí)就接近端點(diǎn)無(wú)法進(jìn)行，這與n=400時(shí)的情形一樣無(wú)法進(jìn)行，……，在實(shí)際意義上，可以將有限次的分量而無(wú)實(shí)際大小區(qū)別的單位點(diǎn)等同于它的極限單位點(diǎn).例如圓周率Π就是取它的有限值來(lái)近似取代，盡管Π是無(wú)窮不循環(huán)小數(shù)，但它是標(biāo)量，而且是單位數(shù)頻圓的周長(zhǎng).見本人發(fā)表在2014年4月份的半月刊《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》里《數(shù)頻科學(xué)之?dāng)?shù)頻圓》一文.

附： n→∞，lim1/n≠0見本人發(fā)表在2014 年4月份的半月刊《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 》中《數(shù)頻科學(xué)之?dāng)?shù)頻微積分》一文里證明. 這里簡(jiǎn)介已發(fā)表的交錯(cuò)級(jí)數(shù)的數(shù)頻表達(dá)式： Ln2=1-1/2+1/3-1/4+…+[（-1）^（n-1）]1/n+…=1/（n+1）+1/（n+2）+1/（n+3）+…+1/2n+…， n→∞.

科赫曲線它最早出現(xiàn)在海里格.馮.科赫的論文《關(guān)于一條連續(xù)而無(wú)切線可由初等幾何構(gòu)作的曲線》（1904年）.科赫曲線是de Rham 的曲線特例.

1. 給定線段AB，科赫曲線可由以下步驟生成； 2. 將線段AB分成三等份，（AC，CD，DB）； 3. 以CD為底，向外畫一個(gè)等邊三角形DMC； 4.將CD移去，分別對(duì)AC，CM，MD，DB重復(fù)以上1～3步驟. 科赫雪花是以等邊三角形的三邊生成的科赫曲線組成的，科赫雪花的面積是[2﹙3﹚?﹙s﹚/5] ，其中s是原來(lái)三角形邊長(zhǎng)，每條科赫曲線的長(zhǎng)度無(wú)限長(zhǎng)，它是連續(xù)而無(wú)處可微的曲線，“無(wú)窮大”的邊界包圍者有限的面積. 如果不加科學(xué)分析地來(lái)看，這一悖論是十分合理的數(shù)學(xué)問題，其實(shí)不然.

由此設(shè)科赫單位線段S=1，零次分形L（0）=1； N=1， S（1）=1/3， L（1）=4/3； N=2， S（2）=1/9，

L（2）=﹙4/3﹚^2； N=3， S（3）=﹙1/3﹚^3，L（3）=﹙4/3﹚^3 ；……； N=n， S（n）=（1/3）^n， 第N次分形曲線長(zhǎng)之和L（n）=﹙4/3﹚^n. 科赫曲線的悖論在于n→∞，S（n）=（1/3）^n等于零還是不為零.如果n→∞，S（n）=（1/3）^n=0， 那么在n→∞時(shí)每次分形新增加的邊長(zhǎng)的和為零，這表明其和極限為零，從而科赫曲線極限為零，即在n→∞，L（n）→0，這是不可能的； 如果n→∞， S（n）=（1/3）^n≠0， 那么無(wú)窮分形的極限就是單位點(diǎn)而且這些單位點(diǎn)之和等于單位1而終止，即符合數(shù)頻分形守恒定律，這同樣表明科赫曲線的分形長(zhǎng)度是存在極限的.這就揭示了科赫曲線的悖論實(shí)質(zhì)在于n→∞， lim1/n=0的不科學(xué).

事實(shí)上，根據(jù)科赫曲線的畫法及圖形，可知在n=6次時(shí)的三角分形十分趨于一單位點(diǎn)， 6次以后的分形漸漸只有次數(shù)而無(wú)實(shí)質(zhì)的分形進(jìn)展，根據(jù)數(shù)頻分形守恒定律知，分形的極限就是單位點(diǎn)而終止， 因此科赫曲線的整體面積是一定值，整體圖形也是一定值，由此雪花分形的結(jié)構(gòu)與圖形都是有限而且是最終穩(wěn)定的.既不是趨于零也不是無(wú)窮大. 在現(xiàn)實(shí)意義上，n=8時(shí)的雪花分形的面積十分接近它的分形極限的面積，n=8時(shí)的分形周長(zhǎng)十分接近它的分形極限的周長(zhǎng)，因此科赫雪花曲線可以用（例如n取8次時(shí)的分形等接近單位點(diǎn)）的有限圖形來(lái)近似取代. 例如圓周率Π就是取它的有限近似值來(lái)代替，盡管Π是無(wú)窮不循環(huán)的小數(shù).

重要的是，科赫曲線分形的面積是有極限的，它決定了它的周長(zhǎng)L（n）=（4/3）^n在n比較大時(shí)，它是收斂的，不等到n趨于無(wú)窮大時(shí)即為單位點(diǎn)時(shí)已經(jīng)結(jié)束，這取決于n 比較大時(shí)， S（n）=lim（1/3 ）^n收斂并趨于零很快，或者趨于單位點(diǎn)很快而終止分形. N次數(shù)看起來(lái)無(wú)窮多，但取決于S（n）=lim（1/3）^n的收斂到單位點(diǎn)的進(jìn)程.N=8時(shí)S（8）=（1/3）^8的收斂點(diǎn)就和單位點(diǎn)難以分清.這就是科赫曲線及雪花分形在有限次分形時(shí)而穩(wěn)定的原因. 科赫曲線的分形長(zhǎng)是無(wú)窮的而面積是有限的這一悖論與它們的圖形是穩(wěn)定的相矛盾.

最后，科赫雪花分形的面積和周長(zhǎng)都是有限的，都在該正三邊形所外接圓內(nèi).如果移去雪花曲線，其面積局限于圓周內(nèi).

總之，分形具有無(wú)窮的趨勢(shì)，但受制于和它共同遵守的數(shù)頻規(guī)律--單位分形守恒定律，不可能無(wú)條件的無(wú)窮復(fù)制而無(wú)終止.以科赫曲線為例，就是只看到無(wú)窮的分形，忽視了分形趨于分形單位點(diǎn)而終止的制約.數(shù)頻科學(xué)這一成果及時(shí)挽救了分形理論的嚴(yán)重?cái)?shù)學(xué)危機(jī)，使之回歸到數(shù)頻科學(xué)的主流發(fā)展上來(lái)，適合、促進(jìn)并遵守?cái)?shù)頻科學(xué)建立的新秩序.數(shù)頻科學(xué)的產(chǎn)生，形成和發(fā)展是劃時(shí)代的科學(xué)，完全是自力更生的創(chuàng)新，是使充滿危機(jī)的世界經(jīng)典數(shù)學(xué)開始向數(shù)頻科學(xué)重點(diǎn)的跨越，為后續(xù)科學(xué)的發(fā)展提供完整科學(xué)的理論保障，從而引領(lǐng)當(dāng)前世界數(shù)學(xué)向數(shù)頻科學(xué)發(fā)展的主流.

參考文獻(xiàn)

[1]. B.B.Mandelbrot the Fractal Geometry of nature [M] San Francisco ；Freeman，1982 9-17.

[2]. 李尚志，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京 高等教育出版社.1999

作者簡(jiǎn)介：吳合法，男，漢族，1972年10月2日出生，籍貫：山東省單縣終興鎮(zhèn)吳集村，大專，主要研究方向，數(shù)頻論，光的數(shù)頻定律，數(shù)頻微積分等等