因式分解方法的探究

【摘要】本文通過理論與實際例題相結合，闡述了多項式f（x，y）＝ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f在實數集中分解因式的方法：待定系數法、求根公式法、十字相乘法、復數開方法、綜合除法等，從而展現了多項式因式分解的多樣化與靈活性。

【關鍵詞】多項式因式分解方法

【中圖分類號】G712 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2014）18－0162－01

所謂多項式的因式分解，實質上是把一個多項式分解成幾個最簡整式的積的形式。同一個多項式在不同的數集中因式分解的結果可能不同，本文僅討論多項式f（x，y）＝ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f在實數集中的因式分解。

在中學代數中，我們已學過提取公因式法，運用公因式法、分組分解法，可化為x2＋（a＋b）x＋ab型的二次三項式的因式分解、十字相乘法等最基本也是最常用的方法。本文在這些基本方法的基礎上，再介紹一些進行因式分解的方法，以饗讀者。

一 待定系數法

待定系數法就是根據恒等式的性質按下列步驟解題的一種方法：（1）假定一個含有待定系數的恒等式；（2）根據恒等式的性質列方程；（3）解方程，求出待定系數。

這里所根據的恒等式的性質有兩條：（1）a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an＝b0xn＋b1xn－1＋bn，則a0＝b0，a1＝b1，…，an－1＝bn－1，an＝bn；（2）若f（x）＝g（x），則用公共定義域內的任一值代入，左右兩邊恒相等。

下面僅舉一例說明此方法。

例1，把x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3分解因式。

解：設原式＝（x＋ky＋l）（x＋py＋q）

＝x2＋pxy＋qx＋kxy＋kpy2＋kpy＋lx＋lpy＋lq

＝x2＋（p＋k）xy＋kpy2＋（l＋q）x＋（kq＋lp）y＋lq

與原式比較對應項系數，得方程組：

解得

∴x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3＝（x＋2y－1）（x－y＋3）

對于解決二元二次式Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F在實數集內的因式分解，用待定系數法還有一種簡便方法：即第一步先分解Ax2＋Bxy＋Cy2＝（ax＋by）（dx＋ey），第二步分解二次三項式Ax2＋Dx＋F＝（ax＋c）（dx＋f）或第二步分解Cy2＋Ey＋F＝（by＋c）（cy＋f），則原式＝（ax＋by＋c）（dx＋ey＋f）。第一步分解Ax2＋Dx＋F＝（ax＋c）（dx＋f），第二步再分解關于y的二次三項式Cy2＋Ey＋F＝（by＋c）（cy＋f），則原式＝（ax＋by＋c）（dx＋ey＋f），下面仍以例1為例說明此法。

例2，把x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3分解因式。

解：x2＋xy－2y2＝（x＋2y）（x－y）

－2y2＋7y－3＝（2y－1）（－y＋3）

∴x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3＝（x＋2y－1）（x－y＋3）

顯然用這種方法可簡化解題過程，但在運用此方法時應注意兩種情況：（1）當Ax2＋Bxy＋Cy2或Ax2＋Dx＋F或Cy2＋Ey＋F的各項含有1和－1以外的常數公因子時，分解成的兩個一次因式的各項系數就不是唯一確定的，分解時應放棄此式而用另外兩式。（2）第一步分解Ax2＋Bxy＋Cy2得到的兩個一次因式：如果x的系數相同，第二步就要分解Cy2＋Ey＋F；如果y的系數相同，第二步就要分解Ax2＋Dx＋F。

二 求根公式法

我們以分解二元二次多項式f（x，y）＝ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f（a≠0）為例說明此法，對f（x，y）進行實分解的程序是：（1）把f（x，y）＝ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f（a≠0）式整理成f（x，y）＝Ax2＋B（y）#8226;x＋c（y）的形式，其中（A＝a≠0，B（y）＝by＋d，C（y）＝cy2＋ey＋f）。（2）寫出f（x，y）＝Ax2＋B（y）#8226;x＋c（y）的判別式△＝［B（y）］2－4Ac（y）并整理成△＝A1y2－B1y＋c1的形式。（3）若A1≠0，則當△＝A1y2－B1y＋c1的判別式△＝B12－AA1C1＝0且A1＞0時或A1＝0，則當B1＝0且C1＞0均可解出方程f（x，y）的兩個形如x1＝my＋n，x2＝uy＋v的根。（4）寫出分解式f（x，y）＝a（x－my－n）（x－uy－v），下面用此方法對例3作出解答。

例3把x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3分解因式。

解：x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3＝x2＋（y＋2）x－2y2＋7y－3

∵方程x2＋（y＋2）x－2y2＋7y－3＝0的兩根

x 1，2＝

＝

即x1＝y－3，x2＝－2y＋1

∴x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3＝（x－x1）（x－x2）＝（x－y＋3）（x＋2y－1）。

三 十字相乘法

下面介紹實系數多項式f（x，y）＝ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f的因式分解的十字相乘法，此法具有計算簡單、方法通俗易懂的特點。假設f（x，y）能分解為：f（x，y）＝（a1x－my－p）（a2x－ny－q），于是有f（x，y）＝（a1x－my）（a2x－ny）－（a1q＋a2p）x＋（mq＋np）y＋pq，顯然二次項部分為ax2＋bxy＋cy2＝（a1x－my）（a2x－ny），由如下的十字相乘：

a1x －my

a2x －ny

而獲得，至于一次項的系數及常數項則必須滿足

因此，當a2m－a1n≠0時，由（1）（2）可解得p，q，如果pq＝f成立，則f（x，y）可用十字相乘法分解。

a1x－my －p

a2x－ny －q

得f（x，y）＝（a1x－my－p）（a2x－ny－q）

如果pq≠f，則f（x，y）不能用十字相乘法分解。這樣我們給出了f（x，y）＝ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f式用十字相乘法進行因式分解的一般方法和步驟。

第一步：將ax2＋bxy＋cy2因式分解，

a1x －my

a2x －ny

得f（x，y）＝（a1x－my）（a2x－ny）

第二步：計算p，q的值，如果pq＝f，則有十字相乘法：

a1x－my －p

a2x－ny －q

得f（x，y）＝（a1x－my－p）（a2x－ny－q）

若pq≠f，則f（x，y）不能分解。

例4，用十字相乘法把f（x，y）＝4x2＋10xy－6y2－6x－25y－4因式分解。

解：由4x2＋10xy－6y2＝（4x－2y）（x＋3y）得

a1＝4，m＝2，a2＝1，n＝－3

解方程組

解得p＝8，q＝－ 。

∵pq＝8×－ ＝－4＝f

故有4x－2y －8

x＋3

于是得f（x，y）＝（4x－2y－8）（x＋3y＋ ）

注：本題如果在第一步中取a1＝1，應有m＝－3，a2＝4，

n＝2，p＝－ ，q＝8，則f（x，y）的各解結果完全相同，

這說明在第一步中哪一個作為a可以任選，只要保證a1a2＝a，但一經選定，其余m，n，a2，p，q就相應地完全確定。

例4也可以用雙十字相乘法分解。

4x2＋10xy－6x＝（4x－2y）（x＋3），－6y2－25y－4＝

（－2y－8）（3y＋ ），由如下的十字相乘法而得到：

4 －2 －8

1 3

∴f（x，y）＝（4x－2y－8）（x＋3y＋ ）

四 復數開方法

眾所周知，多項式x2＋x＋1或x2－x＋1在實數范圍內是不能進行因式分解的，然而，以下一些多項式x4＋x3＋x2＋x＋1；x4－x3＋x2－x＋1；x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1；x6－x5＋x4－x3＋x2－x＋1等，在實數范圍內都是能夠進行因式分解的，但是把這一類多項式直接進行因式分解可不是一件容易的事，本文借助于復數開方知識來解決這個問題。

首先，我們討論多項式x4＋x3＋x2＋x＋1的因式分解問題。

由復數開方理論知，x5－1＝0的根為xk＝cos ＋isin

（k＝0，1，2，3，4）。

于是x5－1＝（x－x0）（x－x1）（x－x2）（x－x3）（x－x4）

＝（x－1）［x－（cos ＋isin ）］［x－（cos ＋

isin ）］［x－（cos ＋isin ）］［x－（cos ＋isin ）］

＝（x－1）［（x＋cos ）＋isin ］［（x＋cos ）－isin ］

［（x－cos ）＋isin ］［（x－cos ）－isin ］

＝（x－1）［（x＋cos ）2＋sin2 ］［（x－cos ）＋sin2 ］

＝（x－1）（x2＋2xcos ＋1）（x2－2xcos ＋1）

另一方面，x5－1＝（x－1）（x4＋x3＋x2＋x＋1）

比較此二式，便得多項式x4＋x3＋x2＋x＋1的因式分解為：

x4＋x3＋x2＋x＋1＝（x2＋2xcos ＋1）（x2－2xcos ＋1） （1）

關于多項式x4－x3＋x2－x＋1的因式分解，其方法類似于多項式x4＋x3＋x2＋x＋1的因式分解。這樣，最簡單的方法就是利用（1）式的結果，即（1）式中的x用－x代替，得：x4－x3＋x2－x＋1＝（x2－2xcos ＋1）（x2－2xcos ＋1）（2）

同樣，我們可對多項式x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1的因式分解進行類似地討論，結果為x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1＝（x2＋

2xcos ＋1）（x2－2xcos ＋1）（x2＋2xcos ＋1）（3）

在公式（3）中，用－x代替x，則得x6－x5＋x4－x3＋x2－x＋

1＝（x2－2xcos ＋1）（x2＋2xcos ＋1）（x2－2xcos ＋1）。

五 綜合除法

例，把x5＋x4－6x3－14x2－11x－3分解因式。

解：∵首項系數為1，常數項為3，而3的因數為1和3，

∴只需用1、－1和3、－3試除。

－1－6－14－11－3

－1－0＋6＋8＋3－1

－1

－1

－1

1＋0－6－8－3＋0

1＋1＋5＋3

1－1－5

3＋0

－1＋2＋3

1－2－3＋0

－1＋3

1－3＋0

∴原式＝（x＋1）4（x－3）

參考文獻

［1］賴慶國.也談實系數二元二次多項式可實分解的充要條件［J］.中學數學月刊，1998（3）

［2］閻滿富、王朝霞.多元二次多項式可分解的判別法［J］.數學通報，2000（3）

〔責任編輯：高照〕