二次函數

二次函數屬初中內容，但由于它與高中許多內容聯系密切，并且應用非常廣泛，因此每年高考都會有大量涉及二次函數的內容，致使二次函數成了高考永恒的話題。二次函數與許多重要的數學方法，如配方法、換元法、分類討論法、基本不等式法、賦值法等都有著密切的關系。一元二次方程根的分布問題、一元二次不等式的討論、二次曲線的交點問題，都與二次函數密切相關。本文分析歷年的高考題可以發現，二次函數都與其他知識相結合進行綜合考查。常見的有：

一 求二次函數的解析式

求二次函數的解析式一般用待定系數法，其關鍵是根據已知條件恰當選擇二次函數解析式的形式，一般選擇規律如下：（1）已知三個坐標點，宜選用一般式；（2）已知頂點坐標、對稱軸、最值，宜選用頂點式；（3）已知與x軸的兩交點坐標，宜選用兩根式。

例題：設二次函數f（x）滿足f（x－2）＝f（－x－2）且圖像在y軸上的截距為1，在x軸上截得的線段長為 ，求f（x）的解析式。

〖解題指南〗二次函數f（x）滿足f（x＋t）＝f（t－x），則其對稱軸方程為x＝t；圖像在x軸上截得的線段長度公式為|x1－x2|，本題可設f（x）的一般式，亦可設頂點式。

〖規范解答〗設f（x）的兩零點分別為x1，x2

解法一：設f（x）＝ax2＋bx＋c，則由題知：c＝1，且對稱軸為x＝－2。

∴ ，即b＝4a。∴f（x）＝ax2＋4ax＋1

∴

∴b＝4a＝2，∴f（x）的解析式為 。

解法二：∵f（x－2）＝f（－x－2）

二次函數f（x）的對稱軸為x＝－2。

設f（x）＝a（x＋2）2＋b且f（0）＝1，∴4a＋b＝1

∴f（x）＝a（x＋2）2＋1－4a＝ax2＋4ax＋1，

∴

∴b＝－1，∴f（x）的解析式為 。

〖反思#8226;感悟〗用待定系數法求二次函數的解析式：（1）設一般式是通法；（2）已知頂點（對稱軸或最值），往往設頂點式；（3）已知圖像與x軸的兩交點，往往設兩根式。若選用形式不當，引入的對待系數過多，會加大運算量。

二 二次函數圖像與性質的應用

1．求二次函數最值的類型及解法

第一，二次函數在閉區間上的最值主要有三種類型：軸定區間定、軸動區間定、軸定區間動，不論哪種類型，解決的關鍵是對稱軸與區間的關系，當含有參數時，要依據對軸對稱與區間的關系進行分類討論。

第二，常結合二次函數在該區間上的單調性或圖像求解，最值一般在區間的端點或頂點處取得。

2．二次函數單調性問題的解法

結合二次函數圖像的升、降對對稱軸進行分析討論求解。

例題：已知函數f（x）＝x2＋2ax＋3，x∈［－4，6］，（1）當a＝－2時，求f（x）的最值；（2）求實數a的取值范圍，使y＝f（x）在區間［－4，6］上是單調函數；（3）當a＝－1時，求f（|x|）的單調區間。

〖解題指南〗解答（1）、（2）可根據對稱軸與區間的關系，結合圖像或單調性直接求解，對于（3），應該先將函數化為分段函數，再求單調區間。

〖規范解答〗（1）當a＝－2時，f（x）＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，則函數在［－4，2）上為減函數，在（2，6］上為增函數。∴f（x）min＝f（2）＝－1，f（x）max＝f（－4）＝（－4）2－4×（－4）＋3＝35。（2）函數f（x）＝x2＋2ax＋3的對

稱軸為 。∴要使f（x）在［－4，6］上為單調函

數，只需－a≤－4或－a≥6。∴a≥4或a≤－6。（3）當a＝

－1時， 。

又∵x∈［－4，6］，∴f（|x|）在區間（－4，1）和（0，1）上為減函數，在區間（－1，0）和（1，6）上為增函數。

〖反思#8226;感悟〗（1）影響二次函數f（x）在區間（m，n）上最值的要素有三個，即拋物線的開口方向、對稱軸位置、閉區間；常用數形結合思想求解，但當三要素中有一要素不明確時，要分情況討論。（2）確定應用二次函數單調性，常借助其圖像數形結合求解。

三 二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的綜合問題

第一，解決一元二次方程根的分布問題的方法，常借助二次函數的圖像數形結合來解，一般從開口方向、對稱軸位置、判別式、端點函數值符合四個方面分析。

第二，解決一元二次不等式的有關問題的策略，一般需借助于二次函數的圖像、性質求解。

例題：設函數f（x）＝ax2－2x＋2，對于滿足1＜x＜4的一切x值都有f（x）＞0，求實數a的取值范圍。

〖解題指南〗解答本題有兩條途徑：（1）分a＞0，a＜0，a＝0三種情況，求出在（1，4）上的最小值f（x）min，再令f（x）min＞0，從而求出a的取值范圍。（2）將參數a

分離得 ，然后求 的最大值即可。

〖規范解答〗解法一：當a＞0時， ，

由f（x）＞0，x∈（1，4）得： 或

或

∴ 或 或 。

∴a≥1或 或φ，即 。

當a＜0時， ，解得a∈φ；

當a＝0時，f（x）＝－2x＋2，f（1）＝0，f（4）＝－6，

∴不合題意。

綜上可得，實數a的取值范圍是 。

解法二：由f（x）＞0，即ax2－2x＋2＞0，x∈（1，4），

得 ，在（1，4）上恒成立。

令 ， ，

∴ ，

所以要使f（x）＞0在（1，4）上恒成立，只要 即可。

〖反思#8226;感悟〗（1）一元二次不等式問題及一元二次方程解的確定與應用問題常轉化為二次函數圖像和性質的應用問題求解，但要注意討論。（2）關于不等式的恒成立問題，盡量使用分離參數法，因為該方法可以避開頻繁地對參數的討論。

總之，二次函數既簡單又具有豐富的內涵和外延。作為最基本的初等函數，可以以它為素材來研究函數的單調性、奇偶性、最值等性質，還可建立起函數、方程、不等式之間的有機聯系；作為拋物線，可以聯系其他平面曲線，討論它們之間的相互關系。這些縱橫聯系使得圍繞二次函數可以編制出層出不窮、靈活多變的數學問題。同時，有關二次函數的內容又與近現代數學發展緊密聯系，是學生進入高校繼續深造的重要基礎知識。因此，有關二次函數的問題在高考中頻繁出現，也就不足為奇了。

〔責任編輯：李錦雯〕