復變函數教學中對比教學法的應用

【摘要】作為高等數學的一門后續課程，復變函數也是工科院系的專業基礎課程之一，它對于學生的空間想象、邏輯思維、抽象思維等能力的培養有著特殊的作用。因此，本文就復變函數教學中對比教學法的作用、與高等數學的比較以及教學案例進行了具體的分析，希望能提升復變函數的授課效果。

【關鍵詞】復變函數教學對比教學法

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2014）18－0083－01

復變函數是以實變函數為基礎，從而產生與發展起來的，在理論方面兩者有著聯系，同時也有著區別。因此，在復變函數教學中，只有采取對比教學法，認清它們之間的異同，才能夠進一步掌握問題本質。

一 對比教學法在復變函數教學中的作用

1．激發學生學習復變函數的興趣

只有讓學生對數學著迷的教師，才可以稱之為優秀的數學教師，僅讓學生依葫蘆畫瓢獲取高分的老師，頂多算是合格的教師。作為一位優秀的教師，首先要讓學生對復變函數的學習產生興趣。所以，在教學中應該抓住學生的興奮點，激發學生的內在需求。而對比教學法就是一種可以激發學生學習興趣的好方法。對比教學法可以將復變函數和以往的學習概念之間的異同體現出來，將其抽象性降低，這樣的對比效果也更加的立體形象，也可以提升復變函數學習的興趣，增強學習信心。

2．培養學生獨立思維的能力

曾經有一位教育學者說過：“如果一個人可以看出顯而易見，那么，我們不會說這一個人的聰明，我們所需要的是能夠將異中之同或是同中之異看出來”。開展數學教學的目的在于讓學生獨立思考，培養獨立思維能力。因此，教師就需要傳授給學生思維方式，讓學生獨立思考，從而形成個性與獨特的見解。在復變函數的教學中，對比教學法可以培養學生的獨立思維能力。在教師的引導下，通過對比，學生可以找出相同和不同之處，這樣參與的學習過程，不僅可以加深學生對復變函數的記憶，還可以深化知識的理解能力，讓學生更好地掌握知識。

二 復變函數與高等數學的比較

1．對比復變函數與實變函數的概念

復變函數f（z），當z＝x＋iy時，相對應的兩個二元實函數u＝u（x，y），v＝v（x，y），也就是f（z）＝u（x，y）＋i v（x，y），當函數的虛部退化為零，即v（x，y）＝0時，復變函數就會轉變成為實變函數。雖然在定義的表述形式上，復變函數和實變函數相似，但兩個的區別在于：實變函數是單值函數，而復變函數則存在單值函數與多值函數的區分。

2．對比復變函數與實變函數的初等函數

實變函數在復數域中的推廣就是復變初等函數，不僅保持了實變初等函數基本的性質，也包含了部分不同的特殊性質，如在高等數學教學中，ex可以看成為e為底的指數函數，同樣可以看成為e的x次冪。但是在復變函數中，就不能夠這樣去理解，ez表示的是復變指數函數的一個符號，也就是ez＝ex（cosy＋i sisy），一般來說，表示使用符號expz，很多人在習慣中都是使用ez，但在這里的ez沒有冪的含意。ez作為指數函數，與e的z次冪還是存在一定的區別，作為指數函數，ez＝ex（cosy＋i siny）屬于單值解析函數，作為e的次冪，根據乘冪的定義，ez＝exp（z lne）＝exp［z（lne＋2kπi）］＝exp［z（1＋2kπi）］＝expz#8226;exp（2kπi）（k＝0，±1，±2，…）。

一般來說，它都是多值的，只有在k＝0或者是k≠0，z為整數時，才存在指數函數值與冪的值相等的情況。

三 極限定義教學案例

在高等數學一元函數的極限定義當中，設函數f（x）在點x0的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數A，對于任意給定的ε＞0，存在正數δ，使得在0＜| x－x0 |＜δ時，就會存在| f（x）－A|＜ε，則常數A就稱之為函數f（x）在x→x0時的極限，記作 或者f（x）→A（當x→x0）。

對于復變函數的極限定義，我們可以利用對比法加以說明。（1）在形式上，復變函數的極限定義完全相似于上述的定義，因此，我們只需要將上述定義之中的x換成為z，就可以得到復變函數的極限定義。（2）我們不能忽視，雖然兩者在形式上相似，但實質上卻存在較大差異，相比之下，復變函數的極限定義要遠遠苛刻于實變函數的極限定義。在實變函數當中，x →x0指的是x在x0的鄰區內從x0的左右的任何方式來趨于x0，但復變函數當中的z →z0指的是z以任意的方式趨于z0，不僅僅是從左右兩個方面，還可以從四面八方，以任意的方式趨于z0，這也是復變函數與實變函數存在諸多不同之點的主要原因。再次進行對比，不僅可以讓學生更加輕松地學習復變函數的極限定義，同時，也可以加深實變函數與復變函數之間極限定義不同的理解程度。

四 結束語

總而言之，本文針對復變函數教學當中的對比教學法進行了闡述，并且配合了案例做出了分析，希望能夠讓學生對復變函數的學習有個全面的了解，并且在今后的教學中，還可以挖掘出更多的學習方法融入復變函數的學習當中。本文僅僅介紹了對比教學法這一種類型的學習方式，主旨在于加深學生的學習印象，培養學生的空間想象、邏輯思維、抽象思維等能力。

參考文獻

［1］曹順、李玉琴.“復變函數”教學改革淺析［J］.考試周刊，2012（75）：79～81

［2］謝娟、邱劍鋒.復變函數與積分變換教學改革研究與實踐［J］.合肥師范學院學報，2009（3）：26～28

〔責任編輯：范可〕