復(fù)變函數(shù)教學(xué)中對比教學(xué)法的應(yīng)用

【摘要】作為高等數(shù)學(xué)的一門后續(xù)課程，復(fù)變函數(shù)也是工科院系的專業(yè)基礎(chǔ)課程之一，它對于學(xué)生的空間想象、邏輯思維、抽象思維等能力的培養(yǎng)有著特殊的作用。因此，本文就復(fù)變函數(shù)教學(xué)中對比教學(xué)法的作用、與高等數(shù)學(xué)的比較以及教學(xué)案例進行了具體的分析，希望能提升復(fù)變函數(shù)的授課效果。

【關(guān)鍵詞】復(fù)變函數(shù)教學(xué)對比教學(xué)法

【中圖分類號】G642 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674－4810（2014）18－0083－01

復(fù)變函數(shù)是以實變函數(shù)為基礎(chǔ)，從而產(chǎn)生與發(fā)展起來的，在理論方面兩者有著聯(lián)系，同時也有著區(qū)別。因此，在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中，只有采取對比教學(xué)法，認清它們之間的異同，才能夠進一步掌握問題本質(zhì)。

一 對比教學(xué)法在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中的作用

1．激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的興趣

只有讓學(xué)生對數(shù)學(xué)著迷的教師，才可以稱之為優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師，僅讓學(xué)生依葫蘆畫瓢獲取高分的老師，頂多算是合格的教師。作為一位優(yōu)秀的教師，首先要讓學(xué)生對復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣。所以，在教學(xué)中應(yīng)該抓住學(xué)生的興奮點，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在需求。而對比教學(xué)法就是一種可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的好方法。對比教學(xué)法可以將復(fù)變函數(shù)和以往的學(xué)習(xí)概念之間的異同體現(xiàn)出來，將其抽象性降低，這樣的對比效果也更加的立體形象，也可以提升復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)的興趣，增強學(xué)習(xí)信心。

2．培養(yǎng)學(xué)生獨立思維的能力

曾經(jīng)有一位教育學(xué)者說過：“如果一個人可以看出顯而易見，那么，我們不會說這一個人的聰明，我們所需要的是能夠?qū)愔兄蚴峭兄惪闯鰜怼薄ｉ_展數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于讓學(xué)生獨立思考，培養(yǎng)獨立思維能力。因此，教師就需要傳授給學(xué)生思維方式，讓學(xué)生獨立思考，從而形成個性與獨特的見解。在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)中，對比教學(xué)法可以培養(yǎng)學(xué)生的獨立思維能力。在教師的引導(dǎo)下，通過對比，學(xué)生可以找出相同和不同之處，這樣參與的學(xué)習(xí)過程，不僅可以加深學(xué)生對復(fù)變函數(shù)的記憶，還可以深化知識的理解能力，讓學(xué)生更好地掌握知識。

二 復(fù)變函數(shù)與高等數(shù)學(xué)的比較

1．對比復(fù)變函數(shù)與實變函數(shù)的概念

復(fù)變函數(shù)f（z），當(dāng)z＝x＋iy時，相對應(yīng)的兩個二元實函數(shù)u＝u（x，y），v＝v（x，y），也就是f（z）＝u（x，y）＋i v（x，y），當(dāng)函數(shù)的虛部退化為零，即v（x，y）＝0時，復(fù)變函數(shù)就會轉(zhuǎn)變成為實變函數(shù)。雖然在定義的表述形式上，復(fù)變函數(shù)和實變函數(shù)相似，但兩個的區(qū)別在于：實變函數(shù)是單值函數(shù)，而復(fù)變函數(shù)則存在單值函數(shù)與多值函數(shù)的區(qū)分。

2．對比復(fù)變函數(shù)與實變函數(shù)的初等函數(shù)

實變函數(shù)在復(fù)數(shù)域中的推廣就是復(fù)變初等函數(shù)，不僅保持了實變初等函數(shù)基本的性質(zhì)，也包含了部分不同的特殊性質(zhì)，如在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，ex可以看成為e為底的指數(shù)函數(shù)，同樣可以看成為e的x次冪。但是在復(fù)變函數(shù)中，就不能夠這樣去理解，ez表示的是復(fù)變指數(shù)函數(shù)的一個符號，也就是ez＝ex（cosy＋i sisy），一般來說，表示使用符號expz，很多人在習(xí)慣中都是使用ez，但在這里的ez沒有冪的含意。ez作為指數(shù)函數(shù)，與e的z次冪還是存在一定的區(qū)別，作為指數(shù)函數(shù)，ez＝ex（cosy＋i siny）屬于單值解析函數(shù)，作為e的次冪，根據(jù)乘冪的定義，ez＝exp（z lne）＝exp［z（lne＋2kπi）］＝exp［z（1＋2kπi）］＝expz#8226;exp（2kπi）（k＝0，±1，±2，…）。

一般來說，它都是多值的，只有在k＝0或者是k≠0，z為整數(shù)時，才存在指數(shù)函數(shù)值與冪的值相等的情況。

三 極限定義教學(xué)案例

在高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)的極限定義當(dāng)中，設(shè)函數(shù)f（x）在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的ε＞0，存在正數(shù)δ，使得在0＜| x－x0 |＜δ時，就會存在| f（x）－A|＜ε，則常數(shù)A就稱之為函數(shù)f（x）在x→x0時的極限，記作 或者f（x）→A（當(dāng)x→x0）。

對于復(fù)變函數(shù)的極限定義，我們可以利用對比法加以說明。（1）在形式上，復(fù)變函數(shù)的極限定義完全相似于上述的定義，因此，我們只需要將上述定義之中的x換成為z，就可以得到復(fù)變函數(shù)的極限定義。（2）我們不能忽視，雖然兩者在形式上相似，但實質(zhì)上卻存在較大差異，相比之下，復(fù)變函數(shù)的極限定義要遠遠苛刻于實變函數(shù)的極限定義。在實變函數(shù)當(dāng)中，x →x0指的是x在x0的鄰區(qū)內(nèi)從x0的左右的任何方式來趨于x0，但復(fù)變函數(shù)當(dāng)中的z →z0指的是z以任意的方式趨于z0，不僅僅是從左右兩個方面，還可以從四面八方，以任意的方式趨于z0，這也是復(fù)變函數(shù)與實變函數(shù)存在諸多不同之點的主要原因。再次進行對比，不僅可以讓學(xué)生更加輕松地學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的極限定義，同時，也可以加深實變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)之間極限定義不同的理解程度。

四 結(jié)束語

總而言之，本文針對復(fù)變函數(shù)教學(xué)當(dāng)中的對比教學(xué)法進行了闡述，并且配合了案例做出了分析，希望能夠讓學(xué)生對復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)有個全面的了解，并且在今后的教學(xué)中，還可以挖掘出更多的學(xué)習(xí)方法融入復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中。本文僅僅介紹了對比教學(xué)法這一種類型的學(xué)習(xí)方式，主旨在于加深學(xué)生的學(xué)習(xí)印象，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象、邏輯思維、抽象思維等能力。

參考文獻

［1］曹順、李玉琴.“復(fù)變函數(shù)”教學(xué)改革淺析［J］.考試周刊，2012（75）：79～81

［2］謝娟、邱劍鋒.復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)改革研究與實踐［J］.合肥師范學(xué)院學(xué)報，2009（3）：26～28

〔責(zé)任編輯：范可〕