例析高中數列中常見的易錯點

數列是高中數學的重點之一，它既有相對的獨立性，又具有一定的綜合性和靈活性，也是初等與高等數學的銜接點，因而也是歷年高考的重點。考查的內容主要有兩個方面，一方面是數列的基本概念，另一方面是數列的運算。下面對常見的幾種易錯點進行歸納總結，同時結合例題進行剖析，以便今后我們在碰到類似的問題時不至于再出錯。

一 忽視數列首項的重要性導致錯誤

例1，已知數列{an}的前n項之和為Sn=2n2+2n+1，則數列{an}的通項公式_______。

錯解：an=4n。

[出錯原因與防范措施]本題出錯的原因是沒有注意到an=Sn-Sn-1是在n≥2的條件下才能成立。這是由于對數列概念理解不透徹所致。在解關于由Sn求an的題目是，按兩步進行討論，可避免出錯。（1）當n=1時，a1=S1；（2）當n≥2時，an=Sn-Sn-1。檢驗a1是否適合由（2）求得的解析式，若符合，則統一；若不符合，則用分段函數表達：

正解：當n=1時，a1=S1=5；當n≥2時，an=2n2+2n+1-2（n-1）2-2（n-1）-1=4n，

∴

二 忽視對等比數列中公比的分類討論導致錯誤

例2，設等比數列{an}的前n項和為Sn，S2+S4=S6，則數列的公比q是_______。

錯解：-1。

[出錯原因與防范措施]本題出錯的原因是在表示等比數

列{an}的前n項和時，學生只是想到 ，把q=1

的情況不自覺地排除在外，這是對前n項和公式理解不透徹所致，解等比數列的問題，一定要注意對公比的分類討論，這是防止出錯的一個好方法。

正解：（1）當q=1時，S2+S4=6a1，S6=6a1。

∴S2+S4=S6成立。

（2）當q≠1時，由S2+S4=S6。

得： 。

∴q6-q4-q2+1=0，即（q2-1）（q4-1）=0。

∵q≠1，∴q2-1≠0，q4=1，q=-1。

∴q=1或q=-1。

三 忽視分類討論或討論不當導致錯誤

例3，若等差數列{an}的首項a1=20，公差d=-3，求Sk=|a1|+|a2|+|a3|+…+|ak|。

錯解：由題意可知an=20-3（n-1）=23-3n，因此

由an≥0，解得n≤ ，即數列{an}的前7項大于0，從第8

項開始，以后各項均小于0。

|a1|+|a2|+|a3|+…+|ak|

=（a1+a2+a3+…+a7）-（a8+a9+…+ak）

=2（a1+a2+a3+…+a7）-（a1+a2+a3+…+a7+a8+a9+…+ak）

=

所以 。

[出錯原因與防范措施]在數列{an}中，若a1，a2，…，am≤0，am+1，…，an>0，數列{an}的前n項和為Sn，數列{|an|}的前n項和為Tn，則：

當n≤m時，Tn=-（a1+a2+…+an）=-Sn；

當n≥m時，Tn=-（a1+a2+…+am）+（am+1+…+an）=Sn-2Sm，要注意這個轉化策略。在數列問題中，一定要注意項數n的取值范圍，特別是在它取不同的值造成不確定的因素時，要注意對其加以分類討論。

正解：由題意可知an=20-3（n-1）=23-3n，因此

由an≥0，解得n≤ ，即數列{an}的前7項大于0，從第8

項開始，以后各項均小于0。

當k≤7時，Sk=|a1|+|a2|+|a3|+…+|ak|=a1+a2+…

+ak= 。

當k≥8時，|a1|+|a2|+|a3|+…+|ak|=（a1+a2+a3+…+a7）-（a8+a9+…+ak）=2（a1+a2+a3+…+a7）-（a1+a2+a3+…+a7+a8+a9+…+ak）

=

六 對等差、等比數列的概念及性質理解不準確導致錯誤

例6，關于數列有下列四個判斷，其中正確命題的序號是_______。

錯解：（1）若a，b，c，d成等比數列，則a+b，b+c，c+d也成等比數列；（2）若數列{an}既是等差數列也是等比數列，則an=an+1；（3）數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=an-1（a∈R），則{an}為等比數列；（4）數列{an}為等差數列，且公差不為零，則數列{an}中不會有am=an（m≠n）。

[出錯原因與防范措施]等差數列的前n項和在公差不為0時是關于n的常數項為0的二次函數。一般地，有結論“若數列{an}的前n項和Sn=an2+bn+c（a，b，c∈R），則數列{an}為等差數列的充要條件是c=0”；在等差數列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m（m∈N*）是等差數列。解決這類題目的一個基本出發點就是考慮問題要全面，把各種可能性都考慮進去，認為正確的命題給予證明，認為不正確的命題舉出反例予以駁斥。在等比數列中公比等于-1時是一個很特殊的情況，在解決有關問題時要注意這個特殊情況。

正解：對于（1），對于特殊數列-1，1，-1，1…即不成立，注意等比數列中不能出現零項；對于（2），若數列{an}既是等差數列也是等比數列，則數列必為常數列；對于（3），當a=0時既不是等差數列也不是等比數列；對于（4）由函數的角度可知等差數列必為單調數列，故數列中不可能出現相同的項。

故答案為：（2）（4）。

七 利用函數知識求解數列的最大項及前n項和最大值時易忽略其定義域限制是正整數集或其子集（從1開始）

例7，等差數列{an}的首項a1>0，前n項和Sn，當l≠m時，Sm=Sl。問n為何值時Sn最大？

錯解： 。

[出錯原因與防范措施]數列的通項公式、前n項和公式都是關于正整數的函數，要善于從函數的觀點認識和理解數列問題。但是考生很容易忽視n為正整數的特點，或即使考慮了n為正整數，但對于n取何值時，能取到最值求解出錯。在關于正整數n的二次函數中其取最值的點要根據正整數距離二次函數的對稱軸遠近而定。

正解：由題意知Sn=

，此函數是以n為變量的二次函數，因為a1>0，當l≠m

時，Sm=Sl故d<0，即此二次函數開口向下，故由f（l）=

f（m）得，當 時，f（x）取得最大值，但由于 ，

故若 為偶數時，當 時，Sn最大；當 為奇

數時，當 時，Sn最大。

八 在應用裂項方法求和時對裂項后抵消項的規律不清，導致多項或少項

例8，求 。

[出錯原因與防范措施]錯位相減求和法的適用環境是：數列是由一個等差數列和一個等比數列對應項的乘積所組成的，求其前n項和。基本方法是設這個和式為Sn，在這個和式兩端同時乘以等比數列的公比得到另一個和式，這兩個和式錯一位相減，得到的和式要分三個部分：（1）原來數列的第一項；（2）一個等比數列的前（n-1）項的和；（3）原來數列的第n項乘以公比后在作差時出現的。在用錯位相減法求數列的和時一定要注意處理好這三個部分，否則就會出錯。

正解：由等差數列的前n項和公式得1+2+3+…+n

= ，∴ ，n取1，

2，3，…，就分別得到 ， ， ，…，∴

。

其實在平時的教學中，我們會發現學生在數列這章內容中易錯的點還有很多，以上只是筆者對高中數列當中的幾個常見易錯點進行的一個歸納總結。如果我們能對數列中的易錯點進行及時的辨、析、正、補，確保此類問題不再出錯，那么我們就能讓學生在考試中有效地杜絕失分現象。

〔責任編輯：李錦雯〕