在課堂教學中如何提高學生的數學思維水平

【摘 要】高中學生普遍缺乏數學思維，這是制約學生解題能力提升的關鍵因素，因此如何在課堂教學中提高高中學生數學思維能力，是高中數學教師面臨的一個重要課題。

【關鍵詞】思維水平 分析預期 大局觀 通性通法

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）01-0137-02

數學家華羅庚說：“數學是一個原則，無數內容，一種方法，到處可用。”數學思維駕馭著數學知識。而學生數學思維水平的高低，直接決定著數學解題能力的高低。數學思維能力對學生的數學學習乃至未來發展都發揮著至關重要的作用。而如何在數學課堂教學中培養學生的思維能力，養成良好思維品質是教學改革的一個重要課題。下面就如何在課堂教學中提高高中學生數學思維能力談談筆者在教學中的幾點嘗試。

一 做好分析預期，提高學生思維的目的性，培養“大局觀”

要培養學生的思維能力，提高學生的思維水平，首先要讓學生學會全面地分析問題，從而能做出合理、科學的決策。這就必須從培養學生分析問題的“大局觀”著手，讓學生的思維具有一定的前瞻性和目的性。因此，教師在講解例題時，一定要做好分析預期。

例1，右下圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：

=1的左焦點為F，右頂點為A，動點M為右準線上一點（異于右準線與x軸的交點），設線段FM交橢圓C于點P，設直線PA的斜率為k1，直線MA的斜率為k2，求k1·k2的取值范圍。

這是一個典型的問題，顯然要同時用到M點和P點坐標，必須要把直線FP的方程寫出來，那到底怎么設，是設直線FP的斜率，還是設M點的坐標，或是設P點的坐標？

教師可以嘗試讓學生先思考：要求k1·k2的取值范圍，需要什么？怎么得到這些需要的條件？怎么得到這些條件方便？

有個學生這樣講：設直線FP的斜率為k，然后用直線方程和橢圓方程聯立，求出P點的坐標，再用兩條直線聯立，求出M點的坐標，然后把k1·k2表示為k的函數？我就問該學生：你為什么這么設？學生回答：這么設只要一個參數k。我又問：你再想一下，這樣做會不會有困難，困難在哪里？學生略作思考后回答：求M點的坐標時要解一個含參數k的一元二次方程，這個很困難。我又問：怎么可以回避你剛才碰到的問題？學生回答：設P點的坐標。

顯然，在這個問題中，學生的思維局限在“一個參數”所帶來的方便中，而沒有意識到接下來會遇到的麻煩，顯然學生思維的深度和遠度不夠，從而做出了短期性、局限性的決定。而要突破這種局限，要求教師必須放開學生的思維，多給學生鍛煉的機會，讓學生在挫折中吸取教訓，使目光變得長遠，“大局觀”變得更強，數學的思維水平得到提高。

二 “高觀點”指引，提高學生思維的概括性，培養“數學思想”

要培養學生的思維能力，提高學生的思維水平，還要求教師能夠“居高等數學之高”，去“臨中學數學之下”。用高等數學的原理、觀點、思想和方法去指導研究初等數學中的一些常見問題。

例2，講到這樣一個例題：已知x，y，z∈R，求x+y

z=1，x2+y2+z2=3，求xyz的最大值。

筆者在所教的兩個班（A班和B班）中采用了不同的方法：A班直接告訴學生可以轉化為關于某個變量的函數來做。在B班教學時，先給出了一個簡單的變式題：已知x，y∈R，x+y=1，求x·y的最大值。然后問學生：（1）這個題目怎么做？（2）這個題目和例題有關系嗎？有什么關系？學生很快就回答了出來，接著又問學生：（3）這兩個題目主要是用到了怎樣的數學思想？（4）用這個數學思想可以解決什么樣的問題？然后讓學生討論。最后，學生得出結論：兩個題目中都是未知數個數比方程個數多1個，因此兩個題目都有一個“自由變量”，就能以此“自由變量”構造函數；這一討論，意在顯化數學內容和數學方法所隱含的本質思想，即通性通法。

一周后，我在兩個班考了這樣一個題目：已知a，b，c∈R+，且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，求abc的取值范圍。結果A班做對的有18人（共44人），B班做對的有34人（共40人）。很明顯，兩種教學方法給學生帶來了截然不同的影響。顯然，這里的“高觀點”所凸顯的數學思想能幫助學生深化理解，解決一些共性的問題。作為高中數學教師，用高等數學的思想、觀點和方法來指導中學數學教學實踐，溝通高等數學和初等數學的內在聯系，培養學生的探究精神和創新能力，帶動數學思維能力的提升，將是新形勢下搞活中學數學教學的一條有效途徑。

三 精心設計學習“障礙”，提高思維的深刻性，培養學生的問題意識

平坦無奇固然可使學生的學習比較輕松，但往往也會使學生感到乏味。因此，要使學生積極主動參與學習，開發其創造潛能，教師就必須根據學生的認知特點和教材內容，巧妙地設置一些學習上的“小障礙”。只有這些“障礙”在學生新的需要與原有發展水平之間產生沖突時，才能激發學生的學習動機，提高學生的思維。

例3，設正項數列{an}滿足2Sn=an+ （n∈N*），求

{an}的通項。

在教學過程中，我讓兩個同學分別從消an和消Sn的角度解決此題，以下是這兩個同學的解法：

學生1：由2Sn=an+ （n∈N*） （1）

得到2Sn+1=an+1+ （n∈N*） （2）

由（2）-（1）得2an+1=an+1+an+ ，通分整理得：

an+1- =-（an+ ） （3）

兩邊同時平方得： ，所以

是等差數列，公差d=4。

∴ ，∴ ，∴ 。

學生2：由 ，得 ，

整理得： ，∴ ，∴ ，∴ （n∈N*）。

兩位學生算完后，下面的學生就開始議論了，兩種方法都對，答案不一樣，問題出在哪里？

面對困難，同學們開始積極思考，最后發現本題中“正項

數列”是關鍵，在學生1的式（3）中， ，

所以an+1∈（0，1）， 。

新課程特別強調問題在學習活動中的重要性。只有在教學過程中不斷地給學生創設學習“障礙”，才能激發和培養學生的問題意識，挑戰學生的思維新高度。同時，通過一些思維上的挫折，可以讓學生發現自己思維上的斷點，從而通過有針對性的訓練，培養思維的延續性和耐挫性，提升數學思維水平。

四 加強變式訓練，提高思維的靈活性，培養舉一反三的能力

所謂數學變式訓練，是指在數學教學過程中對概念、性質、定理、公式以及問題從不同角度、不同層次、不同情形進行橫向或縱向的拓展延伸。變式訓練可以幫助學生多角度地理解解題方法，從“掌握知識”向“理解思想”過渡；俗話說：授之以魚，不如授之以漁。教師要讓學生主動參與，不要總是教師“變”，學生“練”。要鼓勵學生大膽地“變”，有目的、有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，幫助學生融會貫通所學的知識點，同時培養學生的創新意識和創新精神以及舉一反三的能力。

例4，在高三一輪復習關于“二元函數的均值”一節時，最常見的有這樣一個題目：已知，a，b∈R，a>0，b>0，a

+b=1，求 的最小值。我們可以給出這個題目有很多種

變式，如變式（1）：已知x∈（0，1），求 的最小值；

變式（2）：已知θ∈R， ，求 的最小值。

在這兩個題目的基礎上，我讓學生思考，能不能再大膽變化，出一個含參數的題，思考兩分鐘后有學生給出了這樣

一個題目（3）：已知 ≥4對x∈（0，1）恒成立，求

正實數m的取值范圍。

我讓學生進一步思考這幾個題目的共同特征是什么？有同學馬上舉手告訴我：都是分式結構且分母和為定值。至此，這一類問題得到了圓滿的解決。學生也在這個過程受到了數學思維的熏陶，把問題歸結為最本源。

可見，變式訓練可使學生正確理解教材與知識點、能力點的關系，從而抓綱務本，跳出題海，有效地提高思維的敏捷性、應變性、發散性、創造性等思維品質。

簡言之，數學學習的核心是數學思維的活動，培養學生良好的思維品質是高中數學課堂的首要任務。高中學生，數學學習不僅要獲得數學知識，更重要的是要得到思維訓練。因此，如何啟發學生積極、有效的思維，提升數學思維水平，就成為高中數學課堂教學的重要研究課題。而只有做好了這一點，才能真正做好應試教育向素質教育的轉變。

當然，數學是高級智力體操，數學能力的提高不僅取決于數學課堂教學本身，也取決于數學之外的努力，特別是非智力因素的培養。因此，強化學生學習數學的動機和適度的數學學習挑戰性、加強其耐挫力培養、提煉通性通法、解決共性問題、提升思維品質，也應是數學課堂教學應有之意。