普通塔式起重機拉桿的非線性問題

【摘 要】 塔式起重機在建筑領域得到了廣泛應用，雙吊點普通塔式起重機作為其中最重要一員，其設計和分析也相應地得到越來越多的重視。但就目前的分析方法和方式而言，雙吊點起重臂的拉桿未得到充分重視和準確分析，其解析方程和分析模型均未考慮垂度影響。本文基于懸鏈線理論和基本假定，建立了等效彈性模量法和直桿單元法來解決拉桿變形的非線性問題，并利用ANSYS有限元分析軟件針對一算例分別進行線性和非線性分析，通過比較分析結果，說明拉桿的垂度問題對起重臂的計算和分析有一定的影響，其影響效果因結構和工況的變化而不同，因而，在實際計算分析中，是否需要考慮非線性因素應區別對待。

【關鍵詞】 拉桿 非線性 等效彈性模量 直桿單元 ANSYS

1 引言

隨著國內建筑市場的快速發展，塔式起重機的數量急劇增加，應用范圍也越來越廣，特別是雙吊點普通塔式起重機憑借其價格低、安裝操作簡便快捷、適用范圍廣等特點，占據著大部分市場份額。但是，雙吊點起重臂為超靜定結構，計算較為復雜，在一定程度上制約了其創新設計和改型發展。

雙吊點起重臂結構是由起重臂架及前后拉桿（又稱長拉桿和短拉桿）組成的，存在一個多余約束，為一次超靜定結構。超靜定結構求解需綜合考慮三個方面的條件，即平衡條件、幾何條件和物理條件。目前，雙吊點起重臂分析一般通過手工計算和軟件計算兩種途徑，無論哪種分析手段都未曾考慮拉桿的垂度影響，因而其建立的幾何條件方程或模型都與實際情況有一定差異，其準確性和合理性值得質疑，特別是軟件計算中，用link8或link10這兩種桿單元來模擬拉桿的靜力特性時，還可能出現拉桿受壓狀態，這更是與實際工況和狀態嚴重不符。

雙吊點起重臂結構的拉桿長度較大，自重垂度不容忽略，是大變形柔性結構，其靜力分析屬于幾何非線性問題。本文基于懸鏈線理論和基本假定，提供了兩種解析算法，一是引入等效彈性模量，將非線性問題轉換為線性問題處理，另一種是建立拉桿的非線性模型，該模型能較真實和準確地反映拉桿變形受外力影響的非線性變化。最后通過一個算例，使用成熟的有限元分析軟件進行線性和非線性分析，并比較二者結果差異。

2 非線性解析算法

目前，懸索結構的建模和分析方法已經成熟，本文擬參照懸索結構分析的方法和思想，對拉桿變形的非線性問題進行研究和分析。懸索和拉桿結構有相似之處，但并非完全相同，拉桿結構有著自身的特點，因此拉桿非線性問題不能簡單等效成懸索結構非線性問題，而需要探索和建立獨特的方法和模型。為實現方法的研究和模型的創建，首先提出了一些基本假定。

2.1基本假定

（1）假設拉桿連接鉸點相當光滑，無摩擦力，不能承受彎矩；

（2）假設各段拉桿均無彎曲撓度；

（3）假設拉桿自重載荷沿拉桿長度方向均勻分布；

（4）忽略拉桿整體轉動角度；

（5）忽略拉桿橫截面在變形前后的變化。

2.2等效彈性模量法

拉桿在軸向力作用下，若不計垂度影響時，材料的彈性模量是線性的，可以表示為：

[Ee=σεe] （1）

式中，[σ]為拉桿內應力，[εe]為拉桿線性彈性應變。

如圖1所示拉桿模型，拉桿無外力作用的初始長度為L[′]，與水平線傾斜呈α角，A端鉸支，B端滾支，工作狀態下，拉桿因自身重力和軸向力作用會產生非線性垂度，從而使拉桿的長度減少為L。

圖1 拉桿等效彈性模量法模型

假設拉桿滾支端B受到沿拉桿方向由B背離A的方向力F作用時，拉桿B端將沿著拉桿方向向外移動，如果F力足夠大，則拉桿將被拉成一直線，B端返回原來B[′]點，其伸長量為：

[δ=L-L] （2）

拉桿在自重作用下的垂度曲線近似按拋物線計算，再略去高階微量，伸長量可表示為：

[δ=A2q2L3cos2α24F2] （3）

式中，[A]為拉桿截面積，[q]為拉桿重度。

拉桿垂度變化引起的應變變化為：

[d（εf）=d（δ）L=-A2q2L2cos2α12F3dF]（4）

式中，[A]為拉桿線性彈性應變，負號表示垂度增加導致拉桿在延長方向上的應變減小。

因此，由式（4）可推得拉桿非線性變形模量為：

[Ef=σεf=-12F3A2q2L2cos2α=12σ3q2L2cos2α] （5）

拉桿在外力和自身重力作用下的總應變包括線性彈性應變和非線性彈性應變，即：

[ε=εe+εf] （6）

為了將拉桿變形的非線性問題轉變成線性問題，需要修正拉桿的垂度影響，因此引入等效彈性模量，其計算公式為：

[Eeq=EeEfEf-Ee=Eeq2L2cos2α12σ3Ee-1] （7）

2.3直桿單元法

等效彈性模量法是假定拉桿懸垂曲線近似拋物線的情況下而推得的，但拉桿的實際懸垂曲線在大多數情況下應如圖2所示，它是由多個直線段連接而成，非光滑曲線，每條直線均為一個直桿單元，拉桿的非線性模型可以通過直桿單元分析來建立。根據圖示的拉桿模型，拉桿無外力作用的初始長度L[′]工作狀態下，拉桿受自身重力和兩端外力作用，懸垂后長度為L，直桿單元數量為n。

圖2 拉桿直桿單元模型

圖3所示拉桿其中一個直桿單元模型，其初始長度為li[′]（i=1，2…n），兩端外力分別為Fi和Fi+1，重力為Gi，合外力作用后，直桿單元長度變為li，外力Fi和Fi+1與水平方向夾角分別為θi和θi+1，直桿單元與水平方向夾角為αi。

圖3 單直桿單元模型

由直桿單元的平衡條件建立彎矩和力的平衡方程，可得：

[ΣM=0?Ficosθilisinαi+Gi12licosαi=Fisinθilicosαi] （8）

[ΣF=0?Gi+Fi+1sinθi+1=FisinθiFi+1cosθi+1=Ficosθi] （9）

每個直桿單元所受外力而產生的撓度忽略，側重分析其軸向應變，考慮到這一變化后，直桿單元長度應為：

[li=li′+Ficos（θi-αi）EA] （10）

將式（10）帶入到平衡方程（8）和（9）中，該模型中外力[Fi]作為已知量，除此之外還存在四個未知量，因此需要施加邊界條件，根據基本假定（4），拉桿的端點B應始終沿著拉桿長度方向產生位移，則可推出模型優化后的結果必需滿足如下條件：

[i=1nlisinαii=1nlicosαi=tanα] （11）

因此，經過迭代和優化計算后，就可以確定拉桿的位置和形狀，其與外力的非線性模型可以表示為：

[LX=i=1n（li′+Ficos（θi-αi）EAli′）cosαiLY=i=1n（li′+Ficos（θi-αi）EAli′）sinαi] （12）

3 有限元軟件計算

通過上節的分析可以明顯看出，等效彈性模量法簡便易行，但其精確度較差，而直桿單元法建立的模型計算精確，但計算量偏大，并且需要設計相應的軟件，其基本思想為有限元思想，所以可以考慮借助通用的有限元軟件來進行非線性分析，只需在建模和分析時遵循基本假定和直桿單元法的思想便可實現。目前，ANSYS軟件是一款應用較為廣泛的通用有限元分析軟件，可以求解材料非線性、幾何非線性和單元非線性三種非線性問題，本文擬用此軟件進行分析。

由于基于ANSYS軟件的起重臂線性分析已經非常成熟，本文不予贅述，僅就幾個與非線性相關的關鍵問題做一下補充。ANSYS軟件中，LINK10單元因其獨一無二的雙線性剛度矩陣特性，而成為一個軸向僅受拉或僅受壓桿單元。使用只受拉選項時，如果單元受壓，剛度就消失，可以模擬纜索的松弛或鏈條的松弛。這一特性對于模擬拉桿的靜力問題非常有用，因此本文用LINK10單元代替以往常用的LINK8單元。迭代采用NEWTON-RAPHSON法，求解控制器中需指定分析類型為“Large Displacement Static”，并打開應力剛度。設置相應的時間載荷步，使載荷能夠逐漸地施加，利于模型計算能夠收斂，以取得精確解。

4 算例

以某種型號為QTZ40的雙吊點普通塔式起重機為例，分別進行起重臂結構的線性和非線性有限元分析，工況一為起重臂臂尖吊載，工況二為長拉桿和短拉桿之間跨中吊載，起重量均按額載要求加載。起重臂架上應力測試點為1、2、4、5、7、8六點，前拉桿（即長拉桿）上應力測試點為3點，后拉桿（即短拉桿）上應力測試點為6點，兩種工況下起重臂有限元線性分析和非線性分析結果如表1和表2所示。

表1 工況一起重臂有限元分析應力值

由表1中的計算結果可以看出來，線性分析和非線性分析結果雖然不完全相同，但變化不大，絕對差值最大為1.13MPa，因而，針對本文算例而言，工況一的起重臂拉桿非線性分析是不需要的。

表2 工況二起重臂有限元分析應力值

由表2中的計算結果可以看出來，該工況下的線性分析和非線性分析結果較工況一已經有較大變化，關鍵分析點的應力值的絕對差值最大為3.3MPa，最大拉應力的應力值絕對差值為8.14MPa，相對差值為9%，并且長短拉桿的應力值均有較大的差別，由此造成起重臂的受力情況和應力分布也有較大變化。因此，工況二的起重臂拉桿非線性分析是很有必要的。

綜上所述，不同工況下非線性分析的效果是不一樣的，應根據具體的結構和工況區別對待。起重臂結構分析計算時，可以先施加基本的額定載荷，以此校核是否需要進行非線性分析，然后根據載荷組合要求詳細計算。非線性影響較大的結構應進行非線性分析，以保證分析結果的準確性和可靠性，影響較小的可以采用線性分析，以節省計算時間，提高計算分析效率。

5 結論

本文針對雙吊點塔式起重機起重臂的拉桿結構提出了垂度影響問題，為解決該問題首先引入了等效彈性模量，將非線性問題轉化為線性問題加以解決，接下來推出了直桿單元法，建立了拉桿的非線性模型，提供了迭代方程和優化方程。為方便計算和分析，本文使用了ANSYS有限元軟件針對算例進行了具體分析，最后得出結論，拉桿的垂度問題對起重臂的計算和分析有一定的影響，其影響效果因結構和工況的變化而不同，因而，在實際計算分析中，是否需要考慮非線性因素應區別對待。

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